Matematyka.pl

Mam takie zadanie, z którym nie jestem sobie w stanie poradzić. Nie wiem w zasadzie nawet jak zacząć.

Rakieta z włączonym silnikiem oddala się radialnie od Ziemi ze stałym przyspieszeniem \(\displaystyle{ a= \frac{g}{2}}\) (\(\displaystyle{ g}\) to przyspieszenie ziemskie). Znajdując się w odległości \(\displaystyle{ h}\) od powierzchni Ziemi silnik rakiety został wyłączony i odtąd rakieta leci swobodnie. Ile co najmniej musi wynosić \(\displaystyle{ h}\) , aby rakieta oddaliła się do nieskończoności? Znany jest promień Ziemi \(\displaystyle{ r_{z}}\) .

Jakieś wskazówki?

Rozpatrujemy ruch rakiety startującej z Ziemi. Pierwszy odcinek toru (tak zwany aktywny) rakieta przebywa z włączonym silnikami i osiąga wysokość \(\displaystyle{ h}\) najczęściej \(\displaystyle{ h<< r_{Z}.}\)

W tym momencie silniki zostają wyłączone i zaczyna się tak zwany swobodny odcinek trajektorii. Na tej części toru rakieta porusza się pod działaniem tylko siły przyciągania grawitacyjnego Ziemi.

Niech w momencie wyłączenia silników prędkość rakiety będzie \(\displaystyle{ \vec{V}.}\)

Kształt toru rakiety zależy od wartości prędkości \(\displaystyle{ v}\) i jej kierunku.

Energia rakiety

\(\displaystyle{ E = \frac{1}{2}m\cdot V^2 - \frac{G\cdot M_{Z}\cdot m}{r_{Z}+ h}}\) (0)

zależy od wartości prędkości.

Jeżeli \(\displaystyle{ E =0,}\) to swobodny odcinek trajektorii będzie parabolą i rakieta oddali się do nieskończoności (nie uwzględniamy oddziaływania Słońca i innych planet).

Z zasady zachowania energii:


\(\displaystyle{ -\frac{G\cdot M\cdot m}{r_{Z}} + \frac{1}{2}m V^2 = - \frac{G\cdot M \cdot m}{r_{Z}+h}}\) (1)

Proszę podstawić:

\(\displaystyle{ V^2 = 2\cdot \frac{g}{2}\cdot r_{Z} = g\cdot r_{Z}}\) (wynikające z równania \(\displaystyle{ E=0}\) )

oraz

\(\displaystyle{ G\cdot M = g\cdot r^2_{z}}\)

do równania (1)

i wyznaczyć \(\displaystyle{ h.}\)

czyli po prostu zasada zachowania energii.. chyba brak mi praktyki w takich zadaniach
dziękuję serdecznie, zdaje się, że wszystko zrozumiałem