Metodą operatorową rozwiązać równanie

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
lukasz938
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11
Rejestracja: 20 gru 2008, o 10:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: StW

Metodą operatorową rozwiązać równanie

Post autor: lukasz938 » 8 lut 2018, o 11:28

Proszę o rozwiązanie równania metodą operatorową
\(y''+6y'+8y=e ^{3t}\) z warunkami początkowymi \(y(0)=0\) \(y'(0)=-1\)

Ewentualnie proszę materiały proszę o materiały pozwalające rozwiązać lub zrozumieć rozwiązanie tego typu zadań.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2258
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo

Re: Metodą operatorową rozwiązać równanie

Post autor: Janusz Tracz » 8 lut 2018, o 17:12

Zaczyna są zawsze tak samo od policzenia Transformaty Laplace’a i skorzystania z jej własności (liniowość i stablicowane wzory które warto dla treningu udowodnić.)

Przekształcenie Laplace’a mówi tyle że:

\(y'' \rightarrow s^2Y-sy(0)-y'(0)=s^2Y+1\)

\(y' \ \rightarrow sY-y(0)=sY\)

\(y \ \rightarrow Y\)

\(e^{3t} \rightarrow \frac{1}{s-3}\)

Mając to można równanie zapisać w zapisie operatorowym

\(s^2Y+1+6sY+8Y=\frac{1}{s-3}\)

\(Y=\frac{1}{(s-3)(s^2+6s+9)}\)

Nakładając stronami transformatę odwrotną można zapisać

\(y(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{ \frac{1}{(s-3)(s^2+6s+9)}\right\}\)

By policzyć transformatę odwrotną stosujemy zamianę na ułamki proste i tabelę transformat (którą podlinkowałem).

\(\frac{1}{(s-3)(s^2+6s+9)}= \frac{1}{36(s-3)}-\frac{1}{36(s+3)}-\frac{1}{6(s+3)^2}\)

\(y(t)= \frac{e^{3t}}{36}-\frac{e^{-3t}}{36}-\frac{te^{-3t}}{6}\)

ODPOWIEDZ