Systemy dynamiczne - badanie stabilności układu
Systemy dynamiczne - badanie stabilności układu
Dany jest system dynamiczny \(\displaystyle{ x'=x\sin x}\). Wyznaczyć jego punkty równowagi za pomocą I metody Lapunowa oraz zbadać ich stabilność.
-
merowing3
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 9 sty 2011, o 16:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 24 razy
- Pomógł: 9 razy
Re: Systemy dynamiczne - badanie stabilności układu
Domyślam się, że chodzi o pewien układ elektroniczny, w którym przepływ prądu może być opisany pewną funkcją sinusoidalną i traktowany jest jako układ dynamiczny. Bedę rozpatrywał go w funkcji czasu, ale rozwiązanie powinno być ogólne.
Dany jest układ dynamiczny:
\(\displaystyle{ x'(t)=x(t)\sin(x(t))}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} =x\sin(x)}\)
Poszukujemy punktów równowagi tego układu oraz określenia ich stabilności.
Równanie układu jest:
- równaniem rzędu pierwszego (ponieważ mamy pochodną pierwszego rzędu \(\displaystyle{ x'}\)),
- równaniem o schemacie jawnym (ponieważ przed pochodną \(\displaystyle{ x'}\) nie stoi żadne wyrażenie),
- równaniem nieliniowym (ponieważ nie można go zapisać w postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)),
- równaniem zwyczajnym (ponieważ nie mamy pochodnych cząstkowych),
- równaniem różniczkowym (ponieważ zawiera pochodną).
Podsumowując: nieliniowe równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu.
W celu rozwiązania równania różniczkowego, poszukujemy funkcji \(\displaystyle{ x(t)}\), która spełnia to równanie dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\).
Punkt oznaczony \(\displaystyle{ x ^{*}}\) dla którego \(\displaystyle{ x=0}\) nazywany jest punktem równowagi( inaczej punkt stacjonarny lub krytyczny) dla naszego równania różniczkowego, gdyż \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x= x_{0}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_{0}}\) to warunek początkowy, czyli wartość \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ t=0}\)).
Równania nieliniowe mogę nie mieć, mieć jedno, wiele lub nawet nieskończenie wiele punktów równowagi.
Szukamy punktów równowagi:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} =0}\)
\(\displaystyle{ x\sin(x)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{*} } =0}\) lub \(\displaystyle{ x^{*} =k \pi}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)
Mamy nieskończenie wiele punktów równowagi. Punkt równowagi jest stabilny, gdy \(\displaystyle{ x'<0}\) lub niestabilny, gdy \(\displaystyle{ x'>0}\) dla danego \(\displaystyle{ x= x^{*}}\).
W rezultacie:
Punkt równowagi \(\displaystyle{ x^{*} =0}\) jest niestabilny.
Pozostałe punkty równowagi dla \(\displaystyle{ x^{*} =k \pi}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego są stabilne, a dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego są niestabilne.
Dany jest układ dynamiczny:
\(\displaystyle{ x'(t)=x(t)\sin(x(t))}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} =x\sin(x)}\)
Poszukujemy punktów równowagi tego układu oraz określenia ich stabilności.
Równanie układu jest:
- równaniem rzędu pierwszego (ponieważ mamy pochodną pierwszego rzędu \(\displaystyle{ x'}\)),
- równaniem o schemacie jawnym (ponieważ przed pochodną \(\displaystyle{ x'}\) nie stoi żadne wyrażenie),
- równaniem nieliniowym (ponieważ nie można go zapisać w postaci \(\displaystyle{ f(x)=ax+b}\)),
- równaniem zwyczajnym (ponieważ nie mamy pochodnych cząstkowych),
- równaniem różniczkowym (ponieważ zawiera pochodną).
Podsumowując: nieliniowe równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu.
W celu rozwiązania równania różniczkowego, poszukujemy funkcji \(\displaystyle{ x(t)}\), która spełnia to równanie dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\).
Punkt oznaczony \(\displaystyle{ x ^{*}}\) dla którego \(\displaystyle{ x=0}\) nazywany jest punktem równowagi( inaczej punkt stacjonarny lub krytyczny) dla naszego równania różniczkowego, gdyż \(\displaystyle{ \frac{dx}{dt}=0}\) oraz \(\displaystyle{ x= x_{0}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ t}\) (gdzie \(\displaystyle{ x_{0}}\) to warunek początkowy, czyli wartość \(\displaystyle{ x}\) dla \(\displaystyle{ t=0}\)).
Równania nieliniowe mogę nie mieć, mieć jedno, wiele lub nawet nieskończenie wiele punktów równowagi.
Szukamy punktów równowagi:
\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} =0}\)
\(\displaystyle{ x\sin(x)=0}\)
\(\displaystyle{ x^{*} } =0}\) lub \(\displaystyle{ x^{*} =k \pi}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\)
Mamy nieskończenie wiele punktów równowagi. Punkt równowagi jest stabilny, gdy \(\displaystyle{ x'<0}\) lub niestabilny, gdy \(\displaystyle{ x'>0}\) dla danego \(\displaystyle{ x= x^{*}}\).
W rezultacie:
Punkt równowagi \(\displaystyle{ x^{*} =0}\) jest niestabilny.
Pozostałe punkty równowagi dla \(\displaystyle{ x^{*} =k \pi}\), \(\displaystyle{ k \in \mathbb{Z}}\) dla \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego są stabilne, a dla \(\displaystyle{ n}\) parzystego są niestabilne.