Matematyka.pl

Jak udowodnić, że jeżeli 7|(a^2+b^2), gdzie a i b są liczbami całkowitymi to 7|a i 7|b ?

kwadraty liczb naturalnych daja w dzieleniu przez 7 jedynie reszty 0,1,2,4 - zeby to sprawdzic rozwaz sobie kwadraty liczb postaci \(\displaystyle{ 7k, 7k+1, ..., 7k+6}\).
\(\displaystyle{ a^2+b^2}\) daja reszte zero przy dzieleniu przez 7. sprobuj dobrac dwie liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{0,1,2,4\}}\) tak zeby w sumie dawaly wielokrotnosc siodemki. wyjdzie, ze moga to byc jedynie dwa zera.

No ja bym to zapisał tak:

\(\displaystyle{ 7|(a^{2}+b^{2})\Leftrightarrow7|a^{2}\,\wedge\,7|b^{2}\\7|a^{2}\Leftrightarrow7|a\\7|b^{2}\Leftrightarrow7|b}\)

no to wlasnie trzeba bylo dowiesc. ta pierwsza rownowaznosc nie jest wcale taka oczywista. np. jakby zamiast 7 dac 5 to juz nie zachodzi.