Równanie Bessela

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
bieszczyk2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 4 lut 2018, o 22:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

Równanie Bessela

Post autor: bieszczyk2 » 4 lut 2018, o 22:40

Witam,

mam problem ze znalezieniem rozwiązania szczególnego równania różniczkowego:

\(\frac{ \partial ^{2}y(x) }{ \partial x^{2}} + \frac{1}{x} * \frac{ \partial y(x)}{ \partial x} - 4 * y(x) = 4 * x\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Równanie Bessela

Post autor: Premislav » 4 lut 2018, o 23:40

Nie pamiętam, czy tak to się robiło, ale ja bym przewidział rozwiązanie w postaci szeregu potęgowego.
Niech \(y_{sz}(x)= \sum_{n=0}^{+\infty}a_n \ x^n\).
Po podstawieniu tego do równania i zróżniczkowaniu wyraz po wyrazie mamy:
\(\sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^{n-2}+\frac 1 x \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}-4 \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n=4x\\ \sum_{n=2}^{+\infty}n(n-1)a_n x^{n-1}+ \sum_{n=1}^{+\infty}na_n x^{n-1}-4 \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^{n+1}=4x^2\\\sum_{n=1}^{+\infty}n(n+1)a_{n+1} x^{n}+ \sum_{n=0}^{+\infty}(n+1)a_{n+1}x^{n}-4 \sum_{n=1}^{+\infty}a_{n-1} x^{n}=4x^2\)
Stąd po przyrównaniu współczynników przy odpowiednich potęgach mamy
\(a_1=0\), a dalej
\((n+1)^2a_{n+1}=4a_{n-1}\) dla \(n>2\) itd. No nie chce mi się rozpisywać tego porównania współczynników (przy \(x^2\) ma być \(4\), a poza tym zera).
To się powinno dać rozwiązać.

ODPOWIEDZ