Matematyka.pl

Cześć,

muszę udowodnić, że jeżeli operator \(\displaystyle{ u}\) na n-wymiarowej przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) n różnych wartości własnych to operator \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ u \circ v=v \circ u}\) jest diagonalizowalny.

Zacinam się w pewnym momencie i nie wiem jak pójść dalej. Robię tak:
Wiem, że \(\displaystyle{ u}\) jest diagonalizowalny oraz zachodzi taka zależność:
\(\displaystyle{ M_{u \circ v}=M_uM_v}\)
Z warunku w zadaniu mam:
\(\displaystyle{ M_uM_v=M_vM_u}\)
Zatem którąkolwiek ze stron mogę zastąpić macierzą \(\displaystyle{ I_d}\). Czyli mam:
\(\displaystyle{ M_v=M_u^{-1}}\)
Z racji, że \(\displaystyle{ M_u}\) jest diagonalizowalna to mam: \(\displaystyle{ M_u=A\cdot D\cdot A^{-1}}\)
Wykonując podstawowe operacje dochodzę do:
\(\displaystyle{ M_v=AD^{-1}A^{-1}}\)
\(\displaystyle{ D^{-1}}\) będzie dalej macierzą diagonalą, ale będzie miała inne wartości na przekątnych niż wartości własne odpowiadające wektorom własnych z macierzy \(\displaystyle{ A}\). Na diagonali \(\displaystyle{ D^{-1}}\) będą wartości odwrotne do wartości własnych macierzy na diagonali \(\displaystyle{ D}\). I tutaj się stopuję i nie wiem jak to dalej ruszyć.

Zatem którąkolwiek ze stron mogę zastąpić macierzą I_d

A dlaczego?

I tutaj się stopuję i nie wiem jak to dalej ruszyć.

To sprawdź jeszcze raz definicję diagonizowalności, bo to byłby koniec zadanie ,gdyby nie to, że popełniłeś błąd (patrz wyżej).

Okey, wydawało mi się, że jak zachodzi \(\displaystyle{ AB=BA}\) to \(\displaystyle{ A=B^{-1}}\)
Natomiast pomijając ten krok to mogę zapisać tak:
\(\displaystyle{ M_v=M_u^{-1}\cdot M_v\cdot M_u}\)
Tylko, że wtedy mam \(\displaystyle{ M_v}\) zależne od \(\displaystyle{ M_v}\).-- 5 lut 2018, o 11:50 --Ktoś ma jakiś pomysł?

Jeszcze będąc przy temacie diagonalizacji i wartości własnych to mam jedno pytanie. Jeżeli macierz ma jednokrotną wartość własną to zawsze w takim przypadku ma tylko jeden liniowo niezależny wektor własny czy może mieć więcej? Jakby np. równanie charakterystyczne jakiejś macierzy \(\displaystyle{ 4\times 4}\) wyglądało tak: \(\displaystyle{ (\lambda-1)(\lambda+1)(\lambda^2+1)=0}\)
To wtedy dla wartości własnych \(\displaystyle{ \lambda=1 \vee \lambda=-1}\) mogą istnieć po dwa liniowo niezależne wektory własne, tak że będzie ona diagonalizowalna?

Masz \(\displaystyle{ AB =BA}\)i \(\displaystyle{ A}\) ma n różnych wartości własnych. Niech \(\displaystyle{ x}\) taki, że \(\displaystyle{ Ax = \lambda x}\).
Wówczas \(\displaystyle{ ABx = BAx = \lambda Bx}\).
Zatem \(\displaystyle{ Bx}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\) z wartością własną \(\displaystyle{ \lambda}\). Z założenia przestrzenie własne macierzy \(\displaystyle{ A}\) są jednowymiarowe, więc \(\displaystyle{ Bx \in lin(x)}\), więc \(\displaystyle{ Bx = t x}\) dla pewnego \(\displaystyle{ t \in \RR}\)