Matematyka.pl

Cześć.
Polecenie brzmi: wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}\cdot \cdots \cdot \frac{2n-1}{2n} \le \frac{1}{ \sqrt{3n+1} }}\)

Próbowałem rozwiązać ale nie jestem pewny czy dobrze to zrobiłem.
1. Sprawdziłem czy nierówność jest spełniona dla \(\displaystyle{ n=1}\); wychodzi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}}\)

2. Założyłem prawdziwość nierówności:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\cdots\cdot\frac{2k-1}{2k} \le \frac{1}{ \sqrt{3k+1}}}\)

3. I sprawdzam dla \(\displaystyle{ k+1}\) :

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\cdots\cdot\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} \le \frac{1}{ \sqrt{3k+1}}\cdot \frac{1}{ \sqrt{3(k+1)+1}}}\)

Podstawiam z założenia i obliczam:

\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{3k+1}}\cdot \frac{2k+1}{2k+2} \le \frac{1}{ \sqrt{3k+1}}\cdot \frac{1}{ \sqrt{3k+4}}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2k+1}{2k+2} \le \frac{1}{ \sqrt{3k+4}}}\)

I nie wiem za bardzo co dalej, czy to już koniec?

Jeszcze nie koniec. Rozwiąż tę ostatnią nierówność. Jeśli będzie spełniona dla \(\displaystyle{ k\ge2}\) , to koniec.

Ta ostatnia nierówność raczej nie ma szans zachodzić

Ale widać, że nie jest spełniona, bo lewa strona dla dużych \(\displaystyle{ k}\) to mniej więcej \(\displaystyle{ 1}\), zaś prawa dąży do zera.
To, co napisałeś, wskazuje że nie rozumiesz zasady indukcji matematycznej, zacznij więc może od znacznie łatwiejszych zadań z jej wykorzystaniem, a w ogóle od przeczytania i zrozumienia definicji. Tutaj masz rozwiązanie zadania: 417289,15.htm#p5475752
(nieindukcyjne, indukcją nie umiem, chyba że pomachać rękami nad tym iloczynem udając indukcję).

NikBicz pisze:\(\displaystyle{ \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\cdots\cdot\frac{2k-1}{2k}\cdot\frac{2(k+1)-1}{2(k+1)} \le {\red{\frac{1}{\sqrt{3k+1}} \cdot}} \frac{1}{ \sqrt{3(k+1)+1}}}\)

To co zaznaczyłem jest błędne (zbędne).

Okej, dzięki, będę działał. Proste zadania z indukcji mi wychodzą.

-- 4 lut 2018, o 18:02 --

Czyli jak rozwiąże nierówność bez tego, to będzie dobrze?