Matematyka.pl

Udowodnij indukcyjnie że dla \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \left\{ 0\right\}}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(i+3)(i+4)} = \frac{n}{4(n+4)}}\)

To logiczne.

A tak na serio, to \(\displaystyle{ \frac{1}{(i+3)(i+4)}=\frac{1}{i+3}-\frac{1}{i+4}}\), taka wskazówka. a Ty postaraj się czytelniej zapisywać treść zadań, bo to, co powyżej napisałeś, wygląda jak warszawskie getto w roku 1943.
Pozdrawiam.

Premislav pisze:To logiczne.

A tak na serio, to \(\displaystyle{ \frac{1}{(i+3)(i+4)}=\frac{1}{i+3}-\frac{1}{i+4}}\), taka wskazówka. a Ty postaraj się czytelniej zapisywać treść zadań, bo to, co powyżej napisałeś, wygląda jak warszawskie getto w roku 1943.
Pozdrawiam.

Jasne jasne, już poprawione. Bardziej mi chodzi o to że po jednej stronie mam "i" a po drugiej mam "n" a na zajęciach nie ogarnialiśmy takich przykładów.

Trochę lepszy zapis, ale dalej nie do końca sensowny. Być może nie rozumiesz notacji z użyciem sigmy.
\(\displaystyle{ \sum_{i=n_0}^{n} f(i)}\), gdzie \(\displaystyle{ n_0 \in \NN}\) (ewentualnie ogólniej \(\displaystyle{ \ZZ}\), ale to rzadziej spotykane), \(\displaystyle{ n \in \NN, \ n\ge n_0}\), a \(\displaystyle{ f}\) jest jakąś tam funkcją, oznacza taką sumę:
\(\displaystyle{ f(n_0)+f(n_0+1)+\ldots+f(n-1)+f(n)}\).
Na dole pojawia się oznaczenie, od jakiego indeksu zaczynamy sumowanie, zaś na górze – na jakim indeksie kończymy sumowanie. Jakiś prosty przykład:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{5}4i^2=4\cdot 1^2+4\cdot 2^2+4\cdot 3^2+4\cdot 4^2+4\cdot 5^2}\)
Zobacz też na przykład

Czyli w kroku indukcyjnym (oczywiście najpierw nalezy zadbać o bazę indukcji) masz pokazać, że jeśli dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\) jest
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(i+3)(i+4)} =\frac{n}{4(n+4)}}\), to
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} \frac{1}{(i+3)(i+4)} =\frac{n+1}{4((n+1)+4)}}\),