Ekstrema i monotoniczność

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
crayan4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 14 sie 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Ekstrema i monotoniczność

Post autor: crayan4 » 28 wrz 2007, o 10:50

Zbadać monotoniczność i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

\(\displaystyle{ f(x) = ln(cos(x))}\)


Jak to rozwiązać??
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Ekstrema i monotoniczność

Post autor: scyth » 28 wrz 2007, o 10:58

1. Dziedzina

\(\displaystyle{ x ft(-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi\right), \ k \mathbb{Z}}\)

2. Funkcja ln jest rosnąca, cos jest okresowa, zatem zlozenie bedzie okresowe o takim samym okresie, jak cosinus. Będziemy rozpatrywać tylko przypadek dla \(\displaystyle{ k=0}\).

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{-\sin x }{\cos x}=-\tan x}\)

Zatem funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ x ft(-\frac{\pi}{2}, 0 \right)}\),
malejąca dla \(\displaystyle{ x ft(0,\frac{\pi}{2}\right)}\),
dla \(\displaystyle{ x=0}\) mamy ekstremum lokalne - jest to maksimum (bo np. w otoczeniu 0 f przyjmuje tylko wartości ujemne).

ODPOWIEDZ