Matematyka.pl

Wiedząc, że \(\displaystyle{ \phi}\) jest funkcją charakterystyczną, pokazać, że \(\displaystyle{ e^{\phi-1}}\) też jest funkcją charakterystyczną.

Próbowałam tak:
\(\displaystyle{ e^{-1}E(\phi^Y)=e^{-1}E(E(e^{\sum_{i=1}^YitX_i}))=e^{-1}E(E(E(e^{\sum_{i=1}^YitX_i}|Y)))}\)

Ale nic z tego chyba nie wynika.

\(\displaystyle{ e^{\phi-1}=e^{-1} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{\phi^k}{k!}}\)

I teraz jadą dwa fakciki (może da się prościej, ale jestem zmęczony i trochę wypity, i nie mam lepszego pomysłu):
1. dla \(\displaystyle{ k \in \NN^+}\) coś takiego, jak \(\displaystyle{ \phi^k}\), odpowiada funkcji charakterystycznej sumy \(\displaystyle{ k}\) niezależnych zmiennych losowych, z których każda ma rozkład odpowiadający funkcji charakterystycznej \(\displaystyle{ \phi}\), a dla \(\displaystyle{ k=0}\) to jest po prostu funkcja charakterystyczna zmiennej skupionej w zerze.
2. przeliczalna kombinacja wypukła funkcji charakterystycznych jest funkcją charakterystyczną.-- 2 lut 2018, o 01:37 --Drugi fakt może wymagać dowodu, to sobie go przeprowadź. Wystarczy dobrze spojrzeć i dobrać odpowiedni rozkład prawdopodobieństwa (chyba że już mam jakieś delirium tremens).

Lemat

Jeśli funkcje \(\displaystyle{ f_{1}, f_{2},...}\) są funkcjami charakterystycznymi, to funkcja

\(\displaystyle{ g(t) = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} f_{n}}\) jest też funkcją charakterystyczną

gdzie:

\(\displaystyle{ a_{1}+a_{2} +...+ = 1, \ \ a_{n} \geq 0,\ \ n=1, 2,...}\)

Na podstawie lematu funkcja:

\(\displaystyle{ \phi_{n}(t) = \left(1+\frac{\phi -1}{n}\right)^{n}, \ n\in \NN}\) jest funkcją charakterystyczną.

Stąd:

\(\displaystyle{ \phi_{n} \rightarrow e^{\phi - 1}, \ \ n\to \infty}.}\)

Funkcja graniczna jest funkcją ciągłą w zerze jest więc funkcją charakterystyczną.