Granica ciągu liczb wymiernych

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
MAT_AŁ
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 4 kwie 2007, o 22:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: MAT_AŁ » 27 wrz 2007, o 22:24

Udowodnij lub obal twierdzenie:
Dla każdej liczby niewymiernej istnieje ciąg liczb wymiernych zbieżny do tej liczby.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: max » 28 wrz 2007, o 00:42

Twierdzenie jest prawdziwe, dowód można oprzeć np na konstrukcji Dedekinda liczb rzeczywistych lub na lemacie:
Dla każdej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ \alpha}\) i każdej liczby \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}}\) istnieją takie liczby \(\displaystyle{ p_{n}\in \mathbb{Z}, \ q_{n}\in \mathbb{N}}\), że:
\(\displaystyle{ \left|\alpha - \frac{p_{n}}{q_{n}}\right| < \frac{1}{n q_{n}}}\)

Sam chętnie zobaczę inne propozycje

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: jovante » 28 wrz 2007, o 01:01

Niech ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) będzie rozwinięciem dziesiętnym liczby\(\displaystyle{ \alpha}\) z dokładnością do \(\displaystyle{ n}\) miejsc po przecinku. Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to }a_n=\alpha}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: max » 28 wrz 2007, o 01:05

Powinno się nadać, ale.. skąd wynika istnienie takiego rozwinięcia?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7101
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2626 razy
Pomógł: 687 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: mol_ksiazkowy » 28 wrz 2007, o 13:39

MATał napisa:
Dla każdej liczby niewymiernej istnieje ciąg liczb wymiernych zbieżny do tej liczby.
:arrow: nop zapodał bym do rozwazenia nast
tematy: tj tak więc :arrow:
1 wykaz ze ciąg \(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n + \frac{r}{x_n})}\)
jest zbiezny do \(\displaystyle{ \sqrt{r}, \ r \in Q}\)
czy jest monotoniczny, jak szybka jest jego zbieznosc?
2. czy zbior \(\displaystyle{ X=\{ \frac{a+b\sqrt{r}}{c}, \ a, b,c , r>0 \ r\in Q \ \}}\)
jest gesty w R ?
etc
ps.
Informatycy twierdza, ze choc wartosc \(\displaystyle{ x_1}\) w rekurencji
wypisnej powyzej mozna wziasc dowolnie, z punktu matemat
jest to owszem bez znaczenia, to jednak algorytm działa najszybciej
wrecz znakomicie, gdy .... \(\displaystyle{ x_1 [\sqrt{r}]}\)
I tak np
r=78, x1 =9
\(\displaystyle{ x_2 8,83333...}\)
\(\displaystyle{ x_3 8,831761...}\)
etc
\(\displaystyle{ \sqrt{78}= 8,831760866....}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: max » 28 wrz 2007, o 13:58

A co np z liczbami przestępnymi?

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7101
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2626 razy
Pomógł: 687 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: mol_ksiazkowy » 28 wrz 2007, o 15:24

Chodizło mi tu o to -i taka luzna propozycje dałem szukać zbioru
Y gestego w R i t. ze do każdego elementu y z Y potrafimy efektywnie
wyznaczyc ciag el. złozony z liczb wymiernych, zbiezny do y

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: Rogal » 28 wrz 2007, o 18:39

Ja osobiście rozmyślałem dawno nad tym, czy każdą liczbę niewymierną można zapisać jako granicę ciągu liczb wymiernych i nie znalazłszy takiego ciągu dla na przykład sin 1 stopnia, stwierdziłem, że się nie da.
Patrząc więc po tym temacie bardzo chętnie bym takowy ciąg zobaczył

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: max » 28 wrz 2007, o 18:53

To, że czegoś nie widać, nie znaczy, że tego nie ma

Poza tym łatwo jednak taki ciąg znaleźć, będzie to np ciąg przybliżeń dziesiętnych z coraz większą liczbą miejsc po przecinku, a przybliżenia takowe (o dowolnej dokładności) można uzyskać np korzystając z rozwinięcia sinusa w szereg Taylora.

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: Sir George » 28 wrz 2007, o 23:08

Proponuję rozważyć ciąg reduktów ułamka łańcuchowego...

Dokładniej, dla dowolnej niewymiernej liczby \(\displaystyle{ x}\) definiujemy:
\(\displaystyle{ x_0\ =\ [x],\cr x_{n+1}\ =\ ft[\frac1{x-x_n}\right]}\)
oraz
\(\displaystyle{ q_n\ =\ x_0+\frac1{x_1+\frac1{\ddots+\frac1{x_n}}}\ \ \mathbb{Q}}\)

.

.

Wówczas \(\displaystyle{ q_n\ \to\ x}\)

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: micholak » 29 wrz 2007, o 00:32

Badz tez \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{[10^{n}x]}{10^{n}}}\)

Rogal
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Granica ciągu liczb wymiernych

Post autor: Rogal » 29 wrz 2007, o 13:34

Fajne, dziękuję wszystkim za odpowiedź : )

ODPOWIEDZ