Matematyka.pl

Witam serdecznie. Chciałbym dowiedzieć się, jak udowodnić prawdziwość twierdzenia cosinusów dla trójkąta o kącie rozwartym (a więc należy oprzeć rozważania na tym właśnie kącie). Domyślam się, iż wymaga to zastosowania wzorów redukcyjnych - w związku z tym, czy ktoś mógłby je wpierw w jasny sposób wyprowadzić?

Niech kąt BAC będzię, kątem \(\displaystyle{ \alpha}\), w takim razie kąt DAC ma miarę, \(\displaystyle{ 180^\circ-\alpha}\)
Trójkąty DAC i DBC są prostokątne, więc można zastosować tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ \{h^2+x^2=b^2\\h^2+\(a+x\)^2=c^2}\)

Z tego układu równań otrzymujemy: \(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2+2ax}\)

Następnie:
\(\displaystyle{ cos(180^{\circ}-\alpha)=\frac{x}{b}\\x=bcos\(180^{\circ}-\alpha\)}\)

Wstawiamy do równania otrzymując:
\(\displaystyle{ c^2=a^2+b^2+2abcos\(180^{\circ}-\alpha\)\\c^2=a^2+b^2-2abccos\alpha}\)

No i jeszcze jedna sprawa: wzory redukcyjne, z których skorzystałam w ostatnim przejściu

\(\displaystyle{ cos(180^{\circ}-\alpha)=cos180^{\circ}cos\alpha+sin180^{\circ}sin\alpha=-cos\alpha}\)