Równanie z całkami oznaczonymi

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
mwojc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 sie 2011, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: mwojc » 1 lut 2018, o 15:01

Mam równanie:

\(H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\: dz} - \left(\int_{0}^{H}{\eta(z)\: dz}\right)^2 = 0\)

Pytanie brzmi jak poszukiwać funkcji \(\eta(z)\) które spełniają to równanie? I czy to w ogóle możliwe? Na razie mam jedno trywialne rozwiązanie \(\eta(z)=const\) .

Pozdrawiam.
Marek

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: a4karo » 1 lut 2018, o 17:40

A \(H\) to stała, czy zmienna?

mwojc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 sie 2011, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: mwojc » 1 lut 2018, o 20:03

\(H \in (0, \infty)\)

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: bartek118 » 2 lut 2018, o 12:48

Załóżmy, że \(\eta \geq 0\) . Zauważ, że z nierówności Holdera (lub z Jensena - jak kto woli) mamy:
\(\left( \int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \leq H \int_0^H \eta(z)^2 \, dz\)
Czyli:
\(0 = H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\, dz} - \left(\int_{0}^{H}{\eta(z)\, dz}\right)^2 \geq H \int_{0}^{H}{\eta(z)^2\, dz} - H \int_0^H \eta(z)^2 \, dz = 0\)
Czyli w nierówności Holdera musi zachodzić równość, czyli gdy funkcje \(\eta\) i stała są liniowo zależne, czyli \(\eta\) jest stała.

Nie wiem, jak przeprowadzić to rozumowanie dla \(\eta\) , która mogłaby przyjmować wartości ujemne.
Ostatnio zmieniony 2 lut 2018, o 17:19 przez bartek118, łącznie zmieniany 1 raz.

mwojc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 sie 2011, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: mwojc » 2 lut 2018, o 15:38

Hej, Dziękuje za odpowiedź, proszę jednak o objaśnienia. Z nierówności Holdera, tak jak to jest opisane na Wikipedii (https://en.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6ld ... ue_measure), przy przyjęciu \(f(x)=g(x)=\eta(x) \geq 0\) , wychodzi mi raczej nierówność:

\(\left( \int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq \int_0^H \eta(z)^2 \, dz\)

Jak uzasadniasz zmianę kierunku nierówności i przejście do całkowania od \(0\) do \(1\) ?

Pozdrawiam.
Marek

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 16760
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: a4karo » 2 lut 2018, o 16:50

\(\eta(z)=1\cdot\eta(z)\) i teraz Holder

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: bartek118 » 2 lut 2018, o 17:20

mwojc pisze:Jak uzasadniasz zmianę kierunku nierówności i przejście do całkowania od \(0\) do \(1\) ?
Natomiast to była literówka -- powinno być od \(0\) do \(H\).

mwojc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 sie 2011, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: mwojc » 2 lut 2018, o 21:51

Niestety nadal tego nie widzę. Jeżeli \(\eta(z)=1\cdot\eta(z)\) , czyli jak rozumiem \(f(z)=1,\ g(z)=\eta(z)\) , to mi wychodzi:

\(H \int_0^H \eta(z) \, dz \geq \int_0^H \eta(z) \, dz\)

Jest to samo w sobie jest dziwne, bo to by oznaczało, że musi być spełnione \(H\geq 1\) , a niby dlaczego?

Nawet jeżeli pogodzę się z tym wynikiem i pomnożę go stronami przez \(\int_0^H \eta(z) \, dz\) , zaś mój poprzedni wynik dla \(f(z)=g(z)=\eta(z)\) pomnożę stronami przez \(H\) to otrzymam dwie nierówności:

\(H \left(\int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq \left(\int_0^H \eta(z) \, dz\right)^2\)
\(H \left(\int_0^H \eta(z) \, dz \right)^2 \geq H\int_0^H \eta(z)^2 \, dz\)

z których nadal raczej nie wynika Twój wynik. I nie mam już pomysłu...

Pozdrawiam.
Marek

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Re: Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: bartek118 » 3 lut 2018, o 08:33

\(\int_0^H \eta(z) \, dz \leq \left( \int_0^H 1 \, dz \right)^{1/2} \left( \int_0^H \eta(z)^2 \, dz \right)^{1/2}\)

mwojc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 sie 2011, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: mwojc » 3 lut 2018, o 13:40

No jasne! Dziękuję.

W takim razie mam uzasadnienie, że \(\eta(z)\) musi być stałą. Warunek \(\eta(z) \geq 0\) mi nie przeszkadza, bo takie funkcje miałem na myśli zasadniczo. Teraz jeszcze jedno pytanie, a właściwie prośba o potwierdzenie: czy \(\eta(z)\) może być też kawałkami stała, np.:

\(\eta(z) = \begin{cases} 1 \quad \textrm{dla} \quad z\in\langle 0, \frac{H}{2}) \\ 0.5 \quad \textrm{dla} \quad z\in\langle\frac{H}{2}, H\rangle \end{cases}\)

Wydaje mi się oczywiste, że tak, ale wolę się upewnić...

Pozdrawiam,
Marek

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Re: Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: bartek118 » 3 lut 2018, o 13:47

Nie może

mwojc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 18 sie 2011, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie z całkami oznaczonymi

Post autor: mwojc » 4 lut 2018, o 21:31

No to mnie zmartwiłeś. Ale po chwili namysłu stwierdzam, że masz oczywiście rację

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam,
Marek

ODPOWIEDZ