W grupie

[max123321]

Czy w grupie \(\displaystyle{ \QQ}\) z dodawaniem jako działaniem grupowym istnieje podgrupa izomorficzna z \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) ?

No to tak, intuicyjnie, to się wydaje, że całe \(\displaystyle{ \QQ}\) jest izmorficzne z \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) , ale nie wiem jak to uzasadnić.

[JakimPL]

Czy grupa \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest skończenie generowana tak jak \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}\) ?

[max123321]

Aha to o to chodzi. No dobra, to \(\displaystyle{ \QQ}\) jak mi się wydaje to jest generowana przez zbiór:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{1}{i}:i \in \ZZ \right\}}\) czyli zbiór nieskończony, o to chodzi ta?
A \(\displaystyle{ \ZZ \times \ZZ}\) to przez \(\displaystyle{ \left\{ (1,0),(0,1)\right\}}\) ta?

No dobra to w takim razie można wrócić do zadania. Jak to dalej zrobić?

[JakimPL]

Jeżeli \(\displaystyle{ \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}}\) miałoby być izomorficzne z podgrupą \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\), istniałby monomorfizm \(\displaystyle{ \varphi\colon\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}}\). Zatem \(\displaystyle{ \varphi(1,0) = p}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(0,1) = q}\) dla pewnych \(\displaystyle{ p,q\in\mathbb{Q}}\). Co dalej z tego wynika?

[max123321]

Hmm, to, że \(\displaystyle{ \QQ}\) by było generowane przez jakieś dwie liczby wymierne?

[JakimPL]

Nie. Spróbuj pokazać, że taki homomorfizm nie może być różnowartościowy: znajdź wspólną wartość dla \(\displaystyle{ \varphi(n,0)=\varphi(0,m)}\) dla pewnych \(\displaystyle{ n,m\in\mathbb{N}}\).

[max123321]

No, ale nic nie wiem o tym homomorfiźmie. To z definicji homomorfizmu ma pójść?

[JakimPL]

Wróć do mojego poprzedniego postu z definicją monomorfizmu. Rozpisz \(\displaystyle{ p=\tfrac{a}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ q=\tfrac{c}{b}}\) dla pewnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c,d}\). Potem spróbuj znaleźć \(\displaystyle{ x,y}\) naturalne, że

\(\displaystyle{ x\cdot\frac{a}{b}=y\cdot\frac{c}{d}}\)

Dla jakich argumentów powyższe wartości są przyjęte?

[max123321]

No to co się narzuca to \(\displaystyle{ x=y=0}\), ale nie wiem czy o to chodzi?

[JakimPL]

Idea jest taka, by pokazać, że żaden homomorfimz produktu liczb całkowitych w liczby wymierne nie może być różnowartościowy.

Dla \(\displaystyle{ x=y=0}\) wskazujemy dwa razy ten sam punkt (\(\displaystyle{ (0,0)}\)), a powinny być różne. Pokombinuj więcej.

[max123321]

Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) to ma zachodzić? Czy one są ustalone czy mam wybrać?

[JakimPL]

Wiesz, że:

\(\displaystyle{ \varphi(1,0) = p=\tfrac{a}{b}}\) oraz \(\displaystyle{ \varphi(0,1) = q=\tfrac{c}{d}}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{Z}}\).

[max123321]

To może w ten sposób: \(\displaystyle{ x=cd,y=ad}\) tak?

[JakimPL]

Dokładnie o to chodzi:

\(\displaystyle{ \varphi(b^2cd,0)=b^2cd\varphi(1,0)=b^2cd\tfrac{a}{b}=abcd=abd^2\tfrac{c}{d}=\varphi(0,abd^2)}\).