Bryła sztywna
: 29 sty 2018, o 22:21
Wstawiam zadanie z II etapu Olimpiady o Diamentowy Indeks AGH, który się już odbył, ale nie było jeszcze III etapu. Jeżeli jest to niezgodne z regulaminem, proszę o usunięcie tematu.
Dysponujemy belką o długości \(\displaystyle{ L=10\:m}\) i masie \(\displaystyle{ M_o=50\:kg}\) , którą wykorzystujemy do budowy katapulty. Belka zostaje unieruchomiona w pozycji poziomej, z poziomą osią obrotu \(\displaystyle{ O}\) zamocowaną w odległości \(\displaystyle{ d=3\:m}\) od jej środka. Na końcu krótszego ramienia belki umieszczona zostaje przeciwwaga o dużej masie \(\displaystyle{ M=200\:kg}\) , zaś na końcu dłuższego ramienia miotany pocisk o masie \(\displaystyle{ m=2\:kg}\) . Po odblokowaniu katapulty belka zaczyna się obracać i krótsze ramie z przeciwwagą porusza się w dół, zaś ramię z pociskiem w górę.
a) Oblicz moment bezwładności beki \(\displaystyle{ I_b}\) względem osi obrotu wiedząc, że moment bezwładności belki o masie \(\displaystyle{ M_o}\) i długości \(\displaystyle{ L}\) względem środka masy wyraża wzór \(\displaystyle{ I_o=\frac{M_o\cdot L^2}{12}}\) .
b) Oblicz zmianę energii potencjalnej po ustawieniu katapulty w pozycji pionowej.
c) Korzystając z zasady zachowania energii, oblicz prędkość wylotową pocisku, jeżeli oderwie się on od belki w momencie kiedy znajdzie się ona w pozycji pionowej.
Moje rozwiązanie:
a) Korzystając z tw. Steinera --> \(\displaystyle{ I_b=I_o+M_o\cdot d^2}\)
Podstawiając:
\(\displaystyle{ I_b=\frac{M_o\cdot L^2}{12}+M_o\cdot d^2}\)
\(\displaystyle{ I_b=\frac{50\cdot100}{12}+50\cdot9}\)
\(\displaystyle{ I_b=866,67\:kgm^2}\)
b) oznaczenia: 1 --> pocisk 2--> belka 3--> przeciwwaga
\(\displaystyle{ \Delta E_{p1}=m\cdot g\cdot\left(\frac{L}{2}+d\right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p1}=156,96\:J}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p2}=M_o\cdot g\cdot d}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p2}=1471,5\:J}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p3}=M\cdot g\cdot(-1)\cdot\left(\frac{L}{2}-d\right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p3}=(-3924)\:J}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{pc}=(-2295,4)\:J}\)
Czy mógłby mi to ktoś sprawdzić i pomóc rozwiązać podpunkt c) ?
Dysponujemy belką o długości \(\displaystyle{ L=10\:m}\) i masie \(\displaystyle{ M_o=50\:kg}\) , którą wykorzystujemy do budowy katapulty. Belka zostaje unieruchomiona w pozycji poziomej, z poziomą osią obrotu \(\displaystyle{ O}\) zamocowaną w odległości \(\displaystyle{ d=3\:m}\) od jej środka. Na końcu krótszego ramienia belki umieszczona zostaje przeciwwaga o dużej masie \(\displaystyle{ M=200\:kg}\) , zaś na końcu dłuższego ramienia miotany pocisk o masie \(\displaystyle{ m=2\:kg}\) . Po odblokowaniu katapulty belka zaczyna się obracać i krótsze ramie z przeciwwagą porusza się w dół, zaś ramię z pociskiem w górę.
a) Oblicz moment bezwładności beki \(\displaystyle{ I_b}\) względem osi obrotu wiedząc, że moment bezwładności belki o masie \(\displaystyle{ M_o}\) i długości \(\displaystyle{ L}\) względem środka masy wyraża wzór \(\displaystyle{ I_o=\frac{M_o\cdot L^2}{12}}\) .
b) Oblicz zmianę energii potencjalnej po ustawieniu katapulty w pozycji pionowej.
c) Korzystając z zasady zachowania energii, oblicz prędkość wylotową pocisku, jeżeli oderwie się on od belki w momencie kiedy znajdzie się ona w pozycji pionowej.
Moje rozwiązanie:
a) Korzystając z tw. Steinera --> \(\displaystyle{ I_b=I_o+M_o\cdot d^2}\)
Podstawiając:
\(\displaystyle{ I_b=\frac{M_o\cdot L^2}{12}+M_o\cdot d^2}\)
\(\displaystyle{ I_b=\frac{50\cdot100}{12}+50\cdot9}\)
\(\displaystyle{ I_b=866,67\:kgm^2}\)
b) oznaczenia: 1 --> pocisk 2--> belka 3--> przeciwwaga
\(\displaystyle{ \Delta E_{p1}=m\cdot g\cdot\left(\frac{L}{2}+d\right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p1}=156,96\:J}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p2}=M_o\cdot g\cdot d}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p2}=1471,5\:J}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p3}=M\cdot g\cdot(-1)\cdot\left(\frac{L}{2}-d\right)}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{p3}=(-3924)\:J}\)
\(\displaystyle{ \Delta E_{pc}=(-2295,4)\:J}\)
Czy mógłby mi to ktoś sprawdzić i pomóc rozwiązać podpunkt c) ?