układ różniczkowych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
sportowiec1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: małopolska

układ różniczkowych

Post autor: sportowiec1993 » 28 sty 2018, o 21:47

Mam do rozwiązania następujący układ równań:

\(\frac{ \mbox{d}A }{ \mbox{d}t} = -2A\ +\ B\);
\(\frac{ \mbox{d}B }{ \mbox{d}t} = 2A\ - 3B\);
\(\frac{ \mbox{d}C }{ \mbox{d}t} = 2 B\)

Mam pytanie czy poniższy "kierunek" rozwiązywania powyższego równania jest poprawny,
czy jest np. jakiś inny (krótszy/lepszy) sposób?

Macierz współczynników tego równania:
\(\left[\begin{array}{ccc}-2&1&0\\2&-3&0\\0&2&0\end{array}\right]\),
jej wartości własne:
\(\left|\begin{array}{ccc}-2-\lambda&1&0\\2&-3-\lambda&0\\0&2&-\lambda\end{array}\right|\xrightarrow{C_{1}+2C_{2}} \left|\begin{array}{ccc}-\lambda&1&0\\-4-2\lambda&-3-\lambda&0\\4&2&-\lambda\end{array}\right|\xrightarrow{C_{1}+\lambda C_{2}}\left|\begin{array}{ccc}0&1&0\\-4-5\lambda -\lambda^{2}&-3-\lambda&0\\4+2\lambda&2&-\lambda\end{array}\right|\) zatem:
\(\lambda \cdot \left( \lambda^{2} +5\lambda + 4\right)=0 \Rightarrow \lambda \cdot \left( \lambda+1\right) \cdot \left( \lambda+4\right) \Rightarrow \lambda =\left\{ -4,-1,0\right\}\)

odpowiadające wektory własne:
dla \(\lambda_{1}=-4\):
\(\left\{\begin{array}{l} 2x+y=0\\2x+y=0\\2y+4z=0 \end{array} \rightarrow \begin{cases} y=-2x\\y=-2z\end{cases} \rightarrow \textbf{v}_{1} = t \cdot \left(\begin{array}{ccc}1\\-2\\1\end{array}\right)\)

dla \(\lambda_{2}=-1\):
\(\left\{\begin{array}{l} -x+y=0\\2x-2y=0\\2y+z=0 \end{array} \rightarrow \begin{cases} y=x\\z=-2y\end{cases} \rightarrow \textbf{v}_{2} = t \cdot \left(\begin{array}{ccc}1\\1\\-2\end{array}\right)\)

dla \(\lambda_{3}=0\):
\(\left\{\begin{array}{l} -2x+y=0\\2x-3y=0\\2y=0 \end{array} \rightarrow \textbf{v}_{3} = t \cdot \left(\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right)\)

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: układ różniczkowych

Post autor: janusz47 » 28 sty 2018, o 21:58

Kierunek rozwiązania jest jak najbardziej poprawny.

Jest jeszcze mniej elegancka metoda podstawiania.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: układ różniczkowych

Post autor: mariuszm » 29 sty 2018, o 00:30

Czy ja wiem czy mniej elegancka
Za to nieco bardziej ogólna i chyba jest nazywana metodą eliminacji

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: układ różniczkowych

Post autor: janusz47 » 29 sty 2018, o 09:32

Nie bardziej ogólna - bo nie dająca możliwość rozwiązania niektórych typów układu równań różniczkowych.

sportowiec1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: małopolska

Re: układ różniczkowych

Post autor: sportowiec1993 » 29 sty 2018, o 13:42

ok, dziękuję za pomoc

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: układ różniczkowych

Post autor: mariuszm » 29 sty 2018, o 20:11

W metodzie eliminacji współczynniki nie muszą być stałe tak jak w tej metodzie więc jednak
jest bardziej ogólna

ODPOWIEDZ