Matematyka.pl

Witam ma problem przy zadaniu z relatywistyką brzmi tak
W promieniowaniu kosmicznym spotyka się protony (masa spoczynkowa protonu mo wynosi: \(\displaystyle{ 1,67 \cdot 10^{-27} kg}\)) o energii \(\displaystyle{ E= 10^11 GeV}\). Ile czasu potrzebuje taki proton, aby przelecieć przez cała Naszą Galaktykę (Drogę Mleczną) o średnicy \(\displaystyle{ d =10^5}\) lat świetlnych, jeśli czas ten mierzymy w układzie odniesienia związanym:
- z poruszającym się protonem \(\displaystyle{ t’}\) (\(\displaystyle{ t’}\) czas własny odczytany przez proton na
swoim zegarku)
oraz
-z Wszechświatem \(\displaystyle{ t}\) (\(\displaystyle{ t}\)- czas odczytany na
zegarze laboratoryjnym)

mam problem z tylko jednym wzorem który mi się pojawia na \(\displaystyle{ ` \Delta t= \left( \frac{V}{c^2} \right) \left( x_{2}-x_{1} \right)}\) czy ktoś wie skąd ten wzór jak go wyprowadzić ?

Współczynnik Lorentza \(\displaystyle{ \gamma}\), występujący w równaniu

\(\displaystyle{ E = \gamma\cdot m\cdot c^2,}\)

który wiąże energię całkowitą protonu \(\displaystyle{ E}\) z jego energią spoczynkową \(\displaystyle{ E_{0}=mc^2}\)

jest równy:

\(\displaystyle{ \gamma = \frac{E}{E_{0}}= \frac{E}{m\cdot c^2}= ...?}\)

Z definicji roku świetlnego wynika, że jest to odległość, którą pokonuje światło w ciągu roku.

Przebycie odległości Drogi Mlecznej \(\displaystyle{ d = 10^5 lat}\) świetlnych, zajmie światłu \(\displaystyle{ 10^5}\) lat.

Proton przebędzie tę odległość w takim samym czasie.

W układzie odniesienia " Ziemia-Droga Mleczna" podróż protonu będzie trwać:

\(\displaystyle{ \Delta t = 10^5 a.}\)

Odstęp czasu mierzony w układzie odniesienia związanym z protonem - jest czasem własnym \(\displaystyle{ \Delta t_{0},}\) ponieważ w tym układzie dwa zdarzenia:

- przejście protonu przez początek odcinka uznawanego za średnicę Drogi Mlecznej;

-przejście protonu przez koniec tego odcinka - zachodzą w tym samym miejscu, gdzie znajduje się proton.

Rozwiązując równanie:

\(\displaystyle{ \Delta t = \gamma \cdot \Delta t_{0}}\)

otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \Delta t_{0}= \frac{\Delta t}{\gamma}=...?}\)