Równanie różniczkowe cząstkowe

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
ola_air
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 6 paź 2013, o 12:33
Płeć: Kobieta

Równanie różniczkowe cząstkowe

Post autor: ola_air » 27 sty 2018, o 12:28

Jak rozwiązać poniższe równanie z warunkiem początkowym?

\(u u_{x} + y u_{y} = x\)

\(u\left( 0 ,\ y)\)

Istnieje ogólny algorytm rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych?

bartek118
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 5971
Rejestracja: 28 lut 2010, o 19:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń

Równanie różniczkowe cząstkowe

Post autor: bartek118 » 3 lut 2018, o 20:55

Tak – spróbuj metodą charakterystyk.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Równanie różniczkowe cząstkowe

Post autor: mariuszm » 4 lut 2018, o 01:29

\(u u_{x} + y u_{y} = x\\\)

Zapisujesz układ równań

\(\frac{ \mbox{d}x }{u}= \frac{ \mbox{d}y}{y}=\frac{ \mbox{d}u}{x }\\ \frac{ \mbox{d}x }{u}=\frac{ \mbox{d}u}{x }\\ 2x \mbox{d}x =2u \mbox{d}x \\ x^2-u^2=C_{1}\\ x^2-C_{1}=u^2\\ \frac{ \mbox{d}x }{u}=\frac{ \mbox{d}y}{y}\\ \frac{ \mbox{d}x }{\sqrt{x^2-C_{1}}}=\frac{ \mbox{d}y}{y}\\\)

Aby obliczyć tę całkę stosujesz podstawienie Eulera (to pierwsze)

\(\ln{\left| x+ \sqrt{x^2-C_{1}} \right| }=ln{\left| y\right| }+C_{2}\\ x+ \sqrt{x^2-C_{1}}=C_{2}y\\ x+u=C_{2}y\\ \frac{x+u}{y}=C_{2}\\\)

\(\varphi_{1}\left( x,y,u\right)=x^2-u^2\\ \varphi_{2}\left( x,y,u\right)=\frac{x+u}{y}\\ F\left(x^2-u^2,\frac{x+u}{y} \right)=0\)

Skrypty podają że aby dokończyć swoje zadanie musisz rozwiązać kolejny układ równań

ODPOWIEDZ