Udowodnić twierdzenie

[Milo_17]

Cześć
Jeśli \(\displaystyle{ a _{1} ,a_{2},a_{3}...a_{n}}\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi takimi, że \(\displaystyle{ a _{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}\cdot...\cdot a_{n}=1}\), to \(\displaystyle{ a _{1} +a_{2} +a_{3}+...+a_{n} \ge n}\).
Indukcyjnie czuję, że jakoś na pewno da się to zrobić.
Dla \(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ a _{1}=1}\), a więc \(\displaystyle{ a _{1}\ge 1}\)
Dla pewnego n zachodzi sprawdźmy czy dla n+1 też.
Teza: \(\displaystyle{ a _{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}\cdot...\cdot a_{n+1}=1 \Rightarrow a _{1} +a_{2} +a_{3}+...+a_{n+1} \ge n+1}\)
Założenie: \(\displaystyle{ a _{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}\cdot...\cdot a_{n}=1 \Rightarrow a_{1} +a_{2} +a_{3}+...+a_{n} \ge n}\)
Myślałem nad rozłożeniem na przypadki bo jeden łatwo sprawdzić, ale pozostałe nie są takie oczywiste.
\(\displaystyle{ 1) a_{n+1}=1}\) łatwo sprawdzić że zachodzi z założenia.
\(\displaystyle{ 2) a_{n+1}>1}\) ??
\(\displaystyle{ 3) a_{n+1}<1}\) ?
Wie ktoś może jak to pociągnąć albo jakiś inny sposób?

[Rafsaf]

Z zależności między średnią arytmetyczną a geometryczną spróbuj, są to liczby rzeczywiste dodatnie.

[Janusz Tracz]

Dowód indukcyjny nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną nie jest moim ulubionym ale jak najbardziej można to zrobić. Temat wraca jak bumerang więc na forum znajdziesz dużo postów o podobnej tematyce (takie same). Ze swojej strony podeśle Ci ten link

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means

. Znajdziesz tu kilka dowodów indukcyjnych i nie tylko.

[Milo_17]

Rzeczywiście to załatwia sprawę bez żadnych przypadków i indukcji. Dzięki
Pewnie dowód indukcyjny na to byłby podobny jak ten co podałeś z wikipedii.