Matematyka.pl

Udowodnić, że otwarte zbiory rozłączne są rozgraniczone.

Z udowodnieniem, że domknięte zbiory rozłączne są rozgraniczone nie mam problemu, korzystam z tego, że zbiór jest domknięty wtw gdy jest równy swojemu domknięciu i gotowe.

Jak postąpić w tym przypadku?

Mamy zbiory \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ B}\), takie że \(\displaystyle{ A \cap B = \emptyset}\). Musimy pokazać, że \(\displaystyle{ A \cap \overline{B} = \emptyset}\) oraz \(\displaystyle{ \overline{A} \cap B = \emptyset}\).

Można skorzystać z tego, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty wtw gdy \(\displaystyle{ A = int A = X \setminus \overline{A'}}\), co dalej?

To wynika z charakteryzacji domknięcia. Przypuśćmy nie wprost, że \(\displaystyle{ x\in \overline{B}\cap A}\). Wtedy \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem otwartym zawierającym \(\displaystyle{ x}\), więc z tej charakteryzacji mamy \(\displaystyle{ A\cap B\ne\emptyset}\) wbrew założeniu.

Hmm, nie rozumiem skąd wniosek, że jeżeli \(\displaystyle{ x \in \overline{B} \cap A}\) to \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem otwartym. Czy mógłbyś mi to wytłumaczyć?

A co zakładałeś o zbiorach \(\displaystyle{ A,B}\)? Jakie było zadanie?

Faktycznie, głupie pytanie. Nie przypuszczałem, że rozwiązanie może być tak proste.
Dziękuję serdecznie.

Inny sposób: skoro \(\displaystyle{ U \cap V = \varnothing,}\) to \(\displaystyle{ U \subseteq X \setminus V.}\) Zbiór po prawej stronie jest domknięty, zatem \(\displaystyle{ \overline{U} \subseteq X \setminus V,}\) a więc \(\displaystyle{ \overline{U} \cap V = \varnothing.}\) Z symetrii dostajemy drugą równość.