Pochodna w równaniu różniczkowym cząstkowym II rzędu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Liococo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 13 wrz 2017, o 21:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk

Pochodna w równaniu różniczkowym cząstkowym II rzędu

Post autor: Liococo » 25 sty 2018, o 19:09

Witam,
udało mi się częściowo rozwiązać zadanie, polegające na zapisie równania różniczkowego w postaci kanonicznej, jednakże, niestety mam problemu w wykonaniu pochodnej II rzędu, która jest potrzebna do zmiany postaci równania.

\(x ^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x ^{2} }-y ^{2} \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial y ^{2} }=0\)
\(x ^{2}u _{xx}-y ^{2}u _{yy}=0\)

\(\partial (x,y)=-4(x ^{2}y ^{2})\) kiedy \(x \neq 0\) \(y \neq 0\) jest to równanie hiperboliczne

\(\frac{dy}{dx}= \frac{-2xy}{2x ^{2} }\) \(\Rightarrow\) \(C _{1}=xy\)
oraz
\(\frac{dy}{dx}= \frac{2xy}{2x ^{2}}\) \(\Rightarrow\) \(C _{2}= \frac{y}{x}\)

\(\xi=xy\) oraz \(\eta=yx ^{-1}\)
\(u(x,y) \rightarrow u(\xi,\eta) \rightarrow u(xy,yx ^{-1})\)

\(u _{x}=u _{\xi}y+u _{\eta}(-x ^{2})y\)
\(u _{y}=u _{\xi}x+u _{\eta}x ^{-1}\)

Dalej niestety mam problem z wyznaczeniem pochodnych drugiego rzędu, a próbowałam już wiele razy oraz przeglądałam wszelkie inne posty, wpisy czy filmiki. Również byłabym wdzięczna za wyjaśnienie jak się wyznacza pochodną cząstkową typu \(u _{xy}| \frac{ \partial ^{2}u }{ \partial x \partial y}\)

ODPOWIEDZ