suma trzech... ciag geometryczny

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
DeusMortis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 27 wrz 2007, o 15:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn

suma trzech... ciag geometryczny

Post autor: DeusMortis » 27 wrz 2007, o 15:52

Witam, mam problem z nastepujacym zadaniem:

Suma trzech pierwszych wyrazow ciagu geometrycznego wynosi 21, a suma trzech nastepnych jest rowna 168. Ktory wyraz ciagu jest rowny 192?

Z gory dziekuje z rozwiazanie
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

suma trzech... ciag geometryczny

Post autor: soku11 » 27 wrz 2007, o 16:11

\(\displaystyle{ a_1,a_1q,a_1q^2,...,a_nq^{n-1}\\
\begin{cases}
a_1+a_1q+a_1q^2=21\\
a_1q^3+a_1q^4+a_1q^5=168
\end{cases} \\
\begin{cases}
a_1(q^2+q+1)=21\\
a_1(q^5+q^4+q^3)=168
\end{cases} \\
\\
\frac{a_1(q^2+q+1)}{a_1(q^5+q^4+q^3)}=\frac{21}{168}\\
\frac{q^2+q+1}{q^5+q^4+q^3}=\frac{1}{8}\\
q^5+q^4+q^3-8q^2-8q-8=0\\
q^2(q^3-8)+q(q^3-8)+(q^3-8)=0\\
(q^3-2^3)(q^2+q+1)=0\\
(q-2)(q^2+2q+4)(q^2+q+1)=0\\
\forall_{q\in\mathbb{R}}\quad (q^2+2q+4)(q^2+q+1)>0\\
q-2=0\\
q=2\\
a_1=3\\
a_n=3\cdot 2^{n-1}\\
3\cdot 2^{n-1}=192\\
2^{n-1}=64\\
2^{n-1}=2^6\\
n-1=6\\
n=7}\)


POZDRO
Ostatnio zmieniony 27 wrz 2007, o 16:18 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

suma trzech... ciag geometryczny

Post autor: Sylwek » 27 wrz 2007, o 16:13

\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^2=21 \\ a_{1}q^3+a_{1}q^4+a_{1}q^5=168 \end{cases} \\ \begin{cases}a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^2=21 \\ q^3(a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^2)=168 \end{cases} \\ q^3 21=168 \\ q^3=8 \\ q=2 \\ a_{1}+2a_{1}+4a_{1}=21 \\ a_{1}=3 \\ a_{n}=a_{1} q^{n-1}=192 \\ 3 2^{n-1}=192 \\ 2^{n-1}=64 \\ 2^{n-1}=2^6 \\ n-1=6 \\ n=7}\)

ODPOWIEDZ