Czy istnieje tylko jedna taka funkcja \(\displaystyle{ y=y(x)}\) uwikłana równaniem \(\displaystyle{ x^2y^2+\arctg^2 (y)-x^2- \frac{\pi^2}{9}}\) ?
Zobaczmy najpierw na pochodną po \(\displaystyle{ y}\) .
Jest ona równa \(\displaystyle{ 2x^2y+ \frac{2 \arctg (y)}{1+y^2}}\) . Zatem nie jest ona rosnąca. Nie jest również niezerowa. Ponadto mamy dla ustalonego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) \(\displaystyle{ \lim_{y \to + \infty }f(x,y) =+
\infty}\) oraz\(\displaystyle{ \lim_{y \to - \infty }f(x,y)=+\infty}\) . Jeśli natomiast ustalimy \(\displaystyle{ x=0}\) to mamy \(\displaystyle{ \lim_{y \to + \infty }f(x,y)}\) jest większa od zera natomiast \(\displaystyle{ \lim_{y \to - \infty }f(x,y)}\) jest mniejsza od zera.
I teraz zastanawiam się jakie wyciągnąć wnioski. Bo z drugiego przypadku, gdzie \(\displaystyle{ x=0}\) i z tego, że mam funkcje ciągłą mogę wywnioskować,że istnieje taki \(\displaystyle{ y}\) , że \(\displaystyle{ f(0,y)=0}\) . Więc jedna taka funkcja istnieje ale czy tylko jedna?