Czy istnieje tylko jedna taka funkcja?

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1049
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków

Czy istnieje tylko jedna taka funkcja?

Post autor: pawlo392 » 24 sty 2018, o 15:47

Czy istnieje tylko jedna taka funkcja \(\displaystyle{ y=y(x)}\) uwikłana równaniem \(\displaystyle{ x^2y^2+\arctg^2 (y)-x^2- \frac{\pi^2}{9}}\) ?
Zobaczmy najpierw na pochodną po \(\displaystyle{ y}\) .
Jest ona równa \(\displaystyle{ 2x^2y+ \frac{2 \arctg (y)}{1+y^2}}\) . Zatem nie jest ona rosnąca. Nie jest również niezerowa. Ponadto mamy dla ustalonego \(\displaystyle{ x \neq 0}\) \(\displaystyle{ \lim_{y \to + \infty }f(x,y) =+ \infty}\) oraz\(\displaystyle{ \lim_{y \to - \infty }f(x,y)=+\infty}\) . Jeśli natomiast ustalimy \(\displaystyle{ x=0}\) to mamy \(\displaystyle{ \lim_{y \to + \infty }f(x,y)}\) jest większa od zera natomiast \(\displaystyle{ \lim_{y \to - \infty }f(x,y)}\) jest mniejsza od zera.
I teraz zastanawiam się jakie wyciągnąć wnioski. Bo z drugiego przypadku, gdzie \(\displaystyle{ x=0}\) i z tego, że mam funkcje ciągłą mogę wywnioskować,że istnieje taki \(\displaystyle{ y}\) , że \(\displaystyle{ f(0,y)=0}\) . Więc jedna taka funkcja istnieje ale czy tylko jedna?
Ostatnio zmieniony 25 sty 2018, o 18:48 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ