Równanie różniczkowego sprowadzić do postaci kanonicznej

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
donquixote
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 6 wrz 2015, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Równanie różniczkowego sprowadzić do postaci kanonicznej

Post autor: donquixote » 23 sty 2018, o 13:44

Witam,

mam do rozwiązania takie równanie:

\(\displaystyle{ y \frac{ \partial ^2u}{ \partial x^2} + \frac{\partial ^2u}{ \partial y^2} = 0}\)

Wiem, że jest to równanie Tricomiego, ale nie mogę znależć rozwiązania...
Pomożecie?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowego sprowadzić do postaci kanonicznej

Post autor: janusz47 » 23 sty 2018, o 15:54

424355.htm#p5507336-- 23 sty 2018, o 21:08 --\(\displaystyle{ A =y, B =0, C=1 ightarrow B^2 - 4A =-4y =0.}\)

Dane równanie jest równaniem typu hiperbolicznego, gdy

\(\displaystyle{ y <0,}\) typu eliptycznego, gdy \(\displaystyle{ y>0.}\)

Rozważamy dwa przypadki:

I - przypadek hiperboliczny \(\displaystyle{ y<0:}\)

\(\displaystyle{ y'(x) = frac{B +sqrt{B^2 -4AC}}{2A}= -frac{sqrt{4y}}{2y}= frac{sqrt{-y}}{y}= frac{isqrt{y}}{sqrt{y}cdot sqrt{y}}= frac{i}{sqrt{y}}= frac{icdot i}{icdot sqrt{y}}=frac{-1}{sqrt{-y}}.}\)

Stąd otrzymujemy następujące transformacje:

\(\displaystyle{ xi = sqrt{-y}dy + dx, eta = sqrt{-y}dy - dx}\)

\(\displaystyle{ xi = -frac{2}{3} (-y)^{frac{3}{2}}+ x, eta = -frac{2}{3}(-y)^{frac{3}{2}} -x}\)

\(\displaystyle{ xi_{x} =1, eta_{x} =-1, xi_{y}= eta_{y} = left(frac{3}{4}(xi + eta) ight)^{frac{1}{3}}}\)

\(\displaystyle{ y =- left(frac{9}{16} ight)^{frac{1}3}(xi +eta)^{frac{2}{3}}, sqrt{-y}= -left(frac{3}{4}(xi + eta) ight)^{frac{1}{3}}}\)

\(\displaystyle{ frac{partial }{partial x} = frac{partial }{partial xi}-frac{partial }{partial eta}}\)

\(\displaystyle{ frac{partial }{partial y} =left(frac{3}{4}(xi + eta) ight)^{frac{1}{3}} left(frac{partial}{partial xi}+frac{partial }{partial eta} ight)}\)

\(\displaystyle{ frac{partial^2}{partial x^2} = frac{partial^2 }{partial xi^2}-2frac{partial^2 }{partial xi partial eta} + frac{partial ^2}{partial eta^2}}\)

\(\displaystyle{ frac{partial^2 }{partial y^2} =left(frac{3}{4}(xi + eta) ight)^{frac{2}{3}}left(frac{partial^2 }{partial xi^2}+2frac{partial^2 }{partial xi partial eta} +frac{partial ^2}{partial eta^2} ight) + left(frac{3}{4}(xi +eta) ight)^{frac{1}{3}}+ left(frac{1}{3}left(frac{3}{4}(xi +eta) ight)^{-frac{2}{3}}cdot frac{3}{4}cdot 2 ight)cdot left( frac{partial}{partial xi } +frac{partial}{partial eta } ight)}\)

\(\displaystyle{ ycdot u_{xx} + u_{yy} = 0, u_{xi eta} = -frac{2}{3}(xi +eta )^{-1}(u_{xi}+ u_{eta})}\)

jest jego postacią normalną dla przypadku hiperbolicznego \(\displaystyle{ y<0.}\)


II - przypadek eliptyczny \(\displaystyle{ y> 0}\)

\(\displaystyle{ y'(x) = frac{B +sqrt{B^2 -4AC}}{2A}= frac{sqrt{-4y}}{2y}= frac{sqrt{-y}}{y}= frac{isqrt{y}}{sqrt{y}cdot sqrt{y}}= frac{i}{sqrt{y}}.}\)

Stąd równania transformacyjne:

\(\displaystyle{ xi = sqrt{y}dy + icdot dx, eta = sqrt{y}dy - icdot dx}\)

\(\displaystyle{ xi = frac{2}{3} (y)^{frac{3}{2}}+ x, eta = frac{2}{3}(y)^{frac{3}{2}}-x}\)

\(\displaystyle{ alpha = frac{1}{2}(xi + eta)= frac{2}{3}y^{frac{3}{2}}, eta = frac{1}{-2i}(xi - eta) = x.}\)

\(\displaystyle{ alpha_{x} =0, eta_{x}=-1, alpha_{y}= sqrt{y} = left(frac{3}{2}alpha ight)^{frac{1}{3}}, eta_{y} =0, y = left(frac{3}{2}alpha ight)^{frac{2}{3}}}\)

\(\displaystyle{ frac{partial }{partial x} = frac{partial }{partial eta}}\)

\(\displaystyle{ frac{partial }{partial y} = sqrt{y}cdot frac{partial }{partial alpha} = left(frac{3}{2}alpha ight)^{frac{1}{3}}frac{partial }{partial alpha}}\)

\(\displaystyle{ frac{partial^2 }{partial x^2}=frac{partial^2 }{partial eta^2}}\)

\(\displaystyle{ frac{partial^2 }{partial y^2}= left(frac{3}{2}alpha ight)^{frac{2}{3}}frac{partial^2 }{partial alpha^2} + left(frac{3}{2}alpha ight)^{frac{1}{3}}left( frac{1}{3}left(frac{3}{2}alpha ight)^{-frac{2}{3}}frac{3}{2} ight) frac{partial }{partial alpha}}\)

\(\displaystyle{ ycdot u_{xx} + u_{yy} = 0,}\)

\(\displaystyle{ u_{alpha alpha}+ u_{eta eta} = -frac{1}{3}cdot frac{1}{alpha}u_{alpha}}\)

jest postacią kanoniczną równania dla przypadku eliptycznego \(\displaystyle{ ( y> 0).}\)

Proszę znaleźć rozwiązania dla tych dwóch przypadków.

ODPOWIEDZ