Rozwiązanie ogólne układu

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
piksi111-97
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 2 lut 2017, o 20:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Rozwiązanie ogólne układu

Post autor: piksi111-97 » 21 sty 2018, o 00:07

Dzień dobry.
Mam do rozwiązania następujące zadanie:

Wyznaczyć rozwiązanie ogólne układu \(x'(t)=A \cdot x(t) + f(t)\) , gdzie:

\(A=\begin{bmatrix} 1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{bmatrix} \hbox{ i } f(t)=\begin{bmatrix} e^t\\e^{2t}\\te^{3t}\end{bmatrix}\)

Gdyby należało wyznaczyć jedynie rozwiązanie \(x'(t)=A \cdot x(t)\) bez \(f(t)\) , dałbym raczej radę, lecz nie mam pojęcia co zrobić z takim przypadkiem. Na forum nie znalazłem podobnego zadania, w internecie również. :/ Za każdą pomoc będę bardzo wdzięczny.

Pozdrawiam!
Grzesiek
Ostatnio zmieniony 21 sty 2018, o 00:31 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Rozwiązanie ogólne układu

Post autor: NogaWeza » 21 sty 2018, o 00:37

Skoro dostałeś takie zadanie, to na pewno miałeś wprowadzone pojęcie układu niejednorodnego i stosowne wzory.

Układ \(\dot{x} = Ax\) to układ jednorodny i rozwiązanie tego układu nazywa się często w inżynierii składową swobodną.

Układ \(\dot{x} = Ax + Bu\) to układ niejednorodny i rozwiązanie tego układu to swobodna wymuszona, bo pochodzi od pewnego zewnętrzne w stosunku do układu wymuszenia, mianowicie funkcji \(u\).

Tak się składa, że rozwiązanie układu niejednorodnego to rozwiązanie ogólne układu jednorodnego plus rozwiązanie szczególne układu niejednorodnego. Najpierw należy zatem rozwiązać układ jednorodny, a potem użyć na przykład metody uzmienniania stałej (istnieje ona też w postaci macierzowej) aby wyznaczyć wspomniane wcześniej rozwiązanie szczególne.

Można też zajrzeć do literatury dotyczącej systemów dynamicznych bądź teorii sterowania, gdzie na pewno znajdzie się ogólny wzór na rozwiązanie układu \(\dot{x} = Ax + Bu\) postaci
\(x(t) = e^{At} x_0 + \int_{0}^{t} e^{A (t - \tau)} B u(\tau) \dd \tau\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Rozwiązanie ogólne układu

Post autor: mariuszm » 21 sty 2018, o 11:14

Jednorodne można rozwiązać sprowadzając do równania liniowego wyższego rzędu
bądź licząc wartości i wektory własne macierzy \(A\)

\(\det{\begin{bmatrix} 1-\lambda&1&0\\1&1-\lambda&0\\0&0&3-\lambda\end{bmatrix}}=0\\ =\left( 3-\lambda\right)\left( \left( 1-\lambda\right)^2-1 \right)=0\\ \left( 3-\lambda\right)\left(1-\lambda-1 \right)\left(1-\lambda+1 \right)=0\\ -\lambda\left( \lambda-2\right)\left( \lambda-3\right)=0\\\)

\(\begin{bmatrix} 1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{bmatrix} \cdot v=0\\ v_{3}=0\\ v_{1}+v_{2}=0\\ v_{2}=-v_{1}\\ v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}\)


\(\begin{bmatrix} -1&1&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \cdot v=0\\ v_{3}=0\\ -v_{1}+v_{2}=0\\ v_{1}=v_{2}\\ v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix} -2&1&0\\1&-2&0\\0&0&0\end{bmatrix}\\ -2v_{1}+v_{2}=0\\ v_{1}-2v_{2}=0\\ v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}\)


\(x_{j}=v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}e^{0t}+v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}+v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\ x_{j}=v_{1} \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}+v_{2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}+v_{3}\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\\)

Uzmienniasz stałe , twój układ wygląda tak

\(\begin{bmatrix} 1&e^{2t}&0 \\ -1&e^{2t}&0\\0&0&e^{3t} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} C_{1}'\left( t\right) \\ C_{2}'\left( t\right)\\C_{3}'\left( t\right) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \\te^{3t}\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} C_{1}'\left( t\right) \\ C_{2}'\left( t\right)\\C_{3}'\left( t\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&e^{2t}&0 \\ -1&e^{2t}&0\\0&0&e^{3t} \end{bmatrix}^{-1} \cdot \begin{bmatrix} e^{t} \\ e^{2t} \\te^{3t}\end{bmatrix}\\\)

karolcia15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 21 sty 2018, o 16:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: Rozwiązanie ogólne układu

Post autor: karolcia15 » 21 sty 2018, o 16:31

Witam was koledzy,
napotkałam na podobny problem w zadaniu. Część przedstawioną powyżej również udało mi się zrobić. Wymnożyłam wszystko i policzyłam całki po Cx't), jednak nie do końca wiem co zrobić z wyliczonymi C1(t), C2(t) oraz C3(t). Jakieś rady?
Z góry wam serdecznie dziękuję!

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Rozwiązanie ogólne układu

Post autor: mariuszm » 21 sty 2018, o 18:23

\(x_{s}=C_{1}\left( t\right)x_{1}\left( t\right)+C_{2}\left( t\right)x_{2}\left( t\right)+C_{3}\left( t\right)x_{3}\left( t\right)\\ x_{1}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ -1\\0 \end{bmatrix}\\ x_{2}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{bmatrix}e^{2t}\\ x_{3}\left( t\right)= \begin{bmatrix} 0 \\ 0\\1 \end{bmatrix}e^{3t}\\\)

karolcia15
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 21 sty 2018, o 16:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa

Re: Rozwiązanie ogólne układu

Post autor: karolcia15 » 21 sty 2018, o 19:39

Dziękuję ci ślicznie, miłego tygodnia!

ODPOWIEDZ