Równania i nierówności z pierwiastkami

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
wojti99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 19 sty 2018, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równania i nierówności z pierwiastkami

Post autor: wojti99 » 19 sty 2018, o 19:07

Dzień dobry!
Mógłbym prosić o "schemat" rozwiązywania zadań tego typu:
1/ \(\displaystyle{ \sqrt{x-3} + \sqrt{1-x} > \sqrt{8x-5}}\)
2/ \(\displaystyle{ \sqrt{x-4+4 \sqrt{x-8} } - \sqrt{x-7+2 \sqrt{x-8} }=1}\)
Wiadomo, że trzeba wyznaczyć dziedzinę każdego pierwiastka. Ale czy należy rozpisywać na wszystkie przypadki (czy x jest < lub > od 0)?

rubiccube713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 14 gru 2017, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Re: Równania i nierówności z pierwiastkami

Post autor: rubiccube713 » 19 sty 2018, o 19:15

zadanie 1. jest sprzeczne, \(\displaystyle{ x>3 \wedge x<1}\)
jesli chodzi o zadanie 2. wyznacz dziedzinę i zaczynaj podnoszenie do kwadratu, potem przenieś pierwiastek który pozostał na jedną stronę, i z powrotem do kwadratu. Rozwiązania muszą zawierać się w dziedzinie którą wyznaczyłeś na samym początku.

wojti99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 19 sty 2018, o 18:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Re: Równania i nierówności z pierwiastkami

Post autor: wojti99 » 19 sty 2018, o 19:35

rubiccube713 pisze:zadanie 1. jest sprzeczne, \(\displaystyle{ x>3 \wedge x<1}\)
jesli chodzi o zadanie 2. wyznacz dziedzinę i zaczynaj podnoszenie do kwadratu, potem przenieś pierwiastek który pozostał na jedną stronę, i z powrotem do kwadratu. Rozwiązania muszą zawierać się w dziedzinie którą wyznaczyłeś na samym początku.
A co gdyby nie było sprzeczności w przykładzie?

Mogę od razu podnosić do kwadratu czy muszę na coś uważać czy coś założyć?

rubiccube713
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 14 gru 2017, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Równania i nierówności z pierwiastkami

Post autor: rubiccube713 » 19 sty 2018, o 20:05

wojti99 pisze: A co gdyby nie było sprzeczności w przykładzie?
raczej "schemat" rozwiązywania nierówności z nieparzystą ilością pierwiastków różnych od 1 jest dosyć nieintuicyjny i nic Ci by nie dało. Zamień \(\displaystyle{ \sqrt{1-x}}\) na \(\displaystyle{ \sqrt{x-1}}\) jeśli chcesz się pozbyć sprzeczności, i spróbuj rozwiązać. Jakbyś miał jakieś trudności postaram się je rozwiać.

Co do założeń, trzymaj się dziedziny naturalnej przed przekształceniami.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22948
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski

Re: Równania i nierówności z pierwiastkami

Post autor: piasek101 » 19 sty 2018, o 21:03

2) Dziedzina (gdyby nie poniższy sposób to bym jej nie wyznaczał - analiza starożytnych).

Z krótkiego pierwiastka \(\displaystyle{ x\ge 8}\) (i po wszystkim, bo wtedy zawartości długich pierwiastków są dodatnie)

Podstawiam \(\displaystyle{ x-8=t}\)

Otrzymuję \(\displaystyle{ \sqrt {(\sqrt t +2)^2}-\sqrt{(\sqrt t +1)^2}=1}\)

Czyli \(\displaystyle{ |\sqrt t + 2|-|\sqrt t + 1|=1}\) (ale pierwiastek jest nieujemny - z dziedziny to wiemy)

Zatem ...

ODPOWIEDZ