Funkcja kwadratowa z parametrem.

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Szakul1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 50 razy

Funkcja kwadratowa z parametrem.

Post autor: Szakul1 » 18 sty 2018, o 23:38

Funkcja kwadratowa \(\displaystyle{ f\left( x\right)= \left( 2m-1\right) x^{2} -2\left( m+1\right)x + m-1}\) ma dwa różne miejsca zerowe \(\displaystyle{ x_{1} ,x _{2}}\). Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których odległość między miejscami zerowymi wynosi nie więcej niż 4.

No to wiadome, że:
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)
Ale interesuje mnie trzeci warunek. Pomyślałem sobie, że może być np. \(\displaystyle{ \left| x _{1}-x _{2} \right|\le 4}\) ale rozwiązując tę nierówność dochodzę do jakiś dziwnych przekształceń w których muszę rozpatrywać kilka przypadków. Czy powinno być jakieś inne założenie czy też jest jakiś prostszy sposób na rozwiązanie tego?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14923
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4940 razy

Re: Funkcja kwadratowa z parametrem.

Post autor: Premislav » 18 sty 2018, o 23:49

Ta odległość wynosi
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{\Delta}}{a}= \frac{\sqrt{4(m+1)^2-4(2m-1)(m-1)}}{2m-1}=\\= \frac{\sqrt{20m-4m^2}}{2m-1}=2 \frac{\sqrt{5m-m^2}}{2m-1}}\),
co łatwo widać ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Niestety takie brzydkie bywają zadania z funkcji kwadratowych z parametrem, nawalanie przekształceń i przypadków.

A przypadki ja tu widzę dwa: albo \(\displaystyle{ 2m-1>0}\), albo \(\displaystyle{ 2m-1<0}\).

Szakul1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 50 razy

Re: Funkcja kwadratowa z parametrem.

Post autor: Szakul1 » 19 sty 2018, o 00:10

Jeszcze takie pytanie. Czy ta odległość nie powinna być pod wartością bezwzględną?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14923
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 133 razy
Pomógł: 4940 razy

Re: Funkcja kwadratowa z parametrem.

Post autor: Premislav » 19 sty 2018, o 00:13

Ups, cholera, faktycznie, \(\displaystyle{ \left| \frac{\sqrt{\Delta}}{a}\right|}\). Ale licznik jest nieujemny, więc przypadki będą takie, jak napisałem.-- 19 sty 2018, o 00:15 --Tylko pamiętaj jeszcze oczywiście o tych warunkach na \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ \Delta}\), które napisałeś w pierwszym poście.

Szakul1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 15 maja 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 50 razy

Re: Funkcja kwadratowa z parametrem.

Post autor: Szakul1 » 19 sty 2018, o 00:25

Jeśli się najpierw rozpatrzy te przypadki pod wartością bezwzględną to faktycznie wychodzą tylko dwa. Ja wcześniej najpierw pozbywałem się wartości bezwzględnej i dopiero potem rozpatrywałem te przypadki i zamiast 2 musiałem rozważyć 4. Teraz to znacznie prościej. Dziękuję za pomoc

TheBill
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2372
Rejestracja: 25 paź 2009, o 11:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 245 razy

Re: Funkcja kwadratowa z parametrem.

Post autor: TheBill » 24 sty 2018, o 20:47

\(\displaystyle{ \left| x _{1}-x _{2} \right|\le 4}\)
Można też podnieść do kwadratu.

ODPOWIEDZ