Matematyka.pl

Czy ciągiem arytmetycznym mogą być dwa wyrazy? Pytanie może trochę bezsensowne, bo na tej zasadzie każde dwie liczby byłyby ciągiem, jednak w definicjach ciągów nigdzie nie znalazłam informacji o tym, że muszą to być co najmniej 3 wyrazy. Jedyną koncepcją, która przychodzi mi na głowy to wzór \(\displaystyle{ 2a _{n}= a_{n+1} \cdot a_{n-1}}\), który wskazywałby na co najmniej 3 wyrazy.

Mając takie kolejne dwa początkowe wyrazy ciągu \(\displaystyle{ a _{1}=2 \hspace{0.5 cm} a _{2}=4}\)
Teraz mam pytanie czy te wyrazy są wyrazami ciągu arytmetycznego (o różnicy 2) czy może geometrycznego (o iloczynie 2)?-- 18 sty 2018, o 22:42 --SidCom, ale jak to może się mieć do mojego postu? Ciekawy temat,bo sam nie jestem pewny ale wydaje mi się że nie można powiedzieć czy ciąg jest arytmetyczny znając 3 wyrazy.

Chodź jak teraz czytam post to w sumie faktycznie można powiedzieć ale mając zadanie w którym są podane tylko dwa wyrazy ciągu to nie można stwierdzić czy jest arytmetyczny czy nie.

Ciągi, to funkcję których dziedziną, z definicji, jest zbiór liczby naturalnych. Mając skończoną ilość, kolejnych wyrazów ciągu (np, dwa wyrazy, albo trzy) można co najwyżej powiedzieć, że ciąg nie jest arytmetyczny np. jeśli wiemy, że te liczby są kolejnymi wyrazami ciągu\(\displaystyle{ 1, 10, 10243}\) to na pewno nie jest on arytmetyczny ponieważ \(\displaystyle{ 10 - 1 \neq 10243 - 10}\)

Ale pytanie czy mając dwa wyrazy skończonego lub nieskończonego ciągu można powiedzieć czy jest on arytmetyczny? Ja uważam że nie

Nie można.

Ps. każdy ciąg z definicji jest nieskończony, ale już o tym wspominałem wyżej.-- 19 sty 2018, o 01:13 --Mając trzy kolejne wyrazy możesz w najlepszym przypadku stwierdzić, że nie jest ale nigdy, że jest.

W wielu książkach (mowa o podręcznikach szkolnych) przy definicji ciągu arytmetycznego/geometrycznego zastrzega się, że jest to ciąg o co najmniej trzech wyrazach. Tak więc z definicji od ciągu arytmetycznego/geometrycznego wymaga się, by składał się co najmniej z trzech wyrazów.

Oczywiście, bez podanego założenia, każdy ciąg dwuwyrazowy (czy, trywialnie, jednowyrazowy) byłby ciągiem arytmetycznym o różnicy \(\displaystyle{ r=a_2-a_1}\). Podobna zasada dotyczy ciągów geometrycznych (z wyjątkiem tych, których pierwszy wyraz jest zerem, a drugi - nie).

Mówię o ciągach definiowanych w szkołach średnich; powszechnie uważa się ciągi jako funkcje typu \(\displaystyle{ \mathbb{N}\to\mathbb{R}}\) (a więc ciągi nieskończone).

JakimPL, Wszystko się wyprostowało.

każdy ciąg z definicji jest nieskończony,

Wcale i w ogóle może być skończony.

JakimPL pisze:W wielu książkach (mowa o podręcznikach szkolnych) przy definicji ciągu arytmetycznego/geometrycznego zastrzega się, że jest to ciąg o co najmniej trzech wyrazach.

Podasz przykładowe źródło? W mojej książce od OE jest napisane, że należy przyjąć, iż ten ciąg ma co najmniej trzy wyrazy i wówczas możemy mówić o spełnieniu określonych warunków dla ciągu arytmetycznego. Jednak te sformułowanie nie wyklucza jak dla mnie akademickiego przypadku granicznego. Bo przecież różnica między wyrazami w dwuwyrazowym ciągu jest zawsze taka sama dla wszystkich jego wyrazów.