obliczenie granicy funkcji

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
miniek987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ryki

obliczenie granicy funkcji

Post autor: miniek987 » 26 wrz 2007, o 19:26

Nie mogę poradzić sobie z przykładem.

Oblicz granicę (x zmierza do + nieskończoności). W liczniku x^2 - x + 1 a w mianowniku e^x.

W ogóle nie wiem jak mam się zabrać za ten przykład, bardzo proszę o rozwiązanie go, dziękuję za pomoc.


\(\displaystyle{ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 - x + 1}{e^x}}\)

Poprawiłem zapis.
max
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2007, o 19:38 przez miniek987, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: wb » 26 wrz 2007, o 19:33

Proponuję regułę de Hospitala:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{x^2-x+1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2x-1}{e^x}=\lim_{x \to } \frac{2}{e^x}=0}\)

miniek987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ryki

obliczenie granicy funkcji

Post autor: miniek987 » 26 wrz 2007, o 20:47

Czy możnabyłoby trochę jaśniej to napisać, bo nie wiem skąd się to wzieło. Dziękuję za odpowiedź.

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: wb » 26 wrz 2007, o 20:54

Reguła do Hospitala mówi:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to } \frac{f'(x)}{g'(x)}}\)
i z tego skorzystałem.

miniek987
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 12:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ryki

obliczenie granicy funkcji

Post autor: miniek987 » 26 wrz 2007, o 20:56

I właśnie tego nie rozumiem jak to się zamienia . Nie rozumiem tego dlaczego nie ma w drugim równaniu +1 w liczniku i dlaczego w 3 równaniu nie ma -1, Czy może mi to ktoś wytłumaczyć ? Dziękuję za pomoc

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: wb » 26 wrz 2007, o 21:34

\(\displaystyle{ (x^2-x+1)'=2x-1 \\ (2x-1)'=2}\)

Tak się liczy pochodne wielomianów.

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: setch » 26 wrz 2007, o 21:43

Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q \lim_{n \to } u_n=0}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.

Awatar użytkownika
Lider_M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: MiNI PW
Pomógł: 258 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: Lider_M » 26 wrz 2007, o 22:19

setch pisze:Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to }\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q \lim_{n \to } u_n=0}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.
Przydałoby się jeszcze uzasadnienie, dlaczego możemy potraktować tą funkcję jako ciąg... bo nie zawsze tak możemy.

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: setch » 26 wrz 2007, o 22:40

W przypadku, gdy zmienna dąży do nieskonczoności to możemy.

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: Piotr Rutkowski » 26 wrz 2007, o 22:54

Można jeszcze skorzystać z twierdzenia, że \(\displaystyle{ lim\frac{W(x)}{e^{x}}=0}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: setch » 27 wrz 2007, o 07:13

polskimisiek, czy to jest twierdzenie, to ja bym był ostrożny, chociaż to co napisałeś jest prawdą. Można to wytłumaczyć tym, że funkcja wykładnicza "szybciej rośnie" niż wielomianowa.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: max » 27 wrz 2007, o 11:32

[quote="Lider_M"][quote="setch"]Możesz również skorzystać z faktu, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}\left |\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=q}\) i potraktować tą funkcje jako ciąg.[/quote]
Przydałoby się jeszcze uzasadnienie, dlaczego możemy potraktować tą funkcję jako ciąg... bo nie zawsze tak możemy.[/quote]
[quote="setch"]W przypadku, gdy zmienna dąży do nieskończoności to możemy.[/quote]
Hmm, no niekoniecznie, weźmy np \(\displaystyle{ f(x) = \sin(\pi x)}\).
Natomiast kiedy funkcja \(\displaystyle{ f: (x_{0}, +\infty)\to \mathbb{R}}\) jest przynajmniej dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ x}\) monotoniczna oraz \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}f(n) = a}\), to obierając jako ograniczenia tej funkcji funkcje \(\displaystyle{ f([x])}\) oraz \(\displaystyle{ f([x] + 1)}\) (\(\displaystyle{ [x]}\) oznacza część całkowitą z \(\displaystyle{ x}\)) i korzystając z definicji Cauchy'ego granicy funkcji w nieskończoności oraz granicy ciągu i twierdzenia o trzech funkcjach możemy wykazać, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to +\infty} f(x) = a}\).
(korzystając z tego można np łatwo udowodnić twierdzenie podane przez polskiegomiśka, czy też poprawność rozumowania jakie przedstawił setch)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

obliczenie granicy funkcji

Post autor: Piotr Rutkowski » 27 wrz 2007, o 14:31

Twierdzenie` które podałem można po prostu udowodnić z np. de L'Hospitalka.
Korzystając z de L'Hospitala n-razy, gdzie n to stopień wielomianu, łatwo udowodnić, że granica jest w zerze :wink:

Po skorzystaniu z tego otrzymamy w końcu \(\displaystyle{ \lim{x \to \infty}\frac{a}{e^{x}}}\), gdzie a to jakaś stała :razz:

ODPOWIEDZ