Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
marta_53
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 31 sty 2015, o 20:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: śląsk

Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: marta_53 » 15 sty 2018, o 19:48

Zapisać funkcję \(f(z)=\frac{\sin z}{( z-i)^{2}}\) w postaci szeregu Laurenta w otoczeniu punktu \(z=i\) .
Ostatnio zmieniony 15 sty 2018, o 20:15 przez SlotaWoj, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14138
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: Premislav » 15 sty 2018, o 20:18

Wystarczy skorzystać ze wzoru na sinus sumy (w zespolonych działa równie dobrze) i z rozwinięcia funkcji sinus oraz cosinus w szereg Taylora.
\(\sin z=\sin(z-i+i)=\sin (z-i)\cos i+\cos(z-i)\sin i\)
mamy ponadto:
\(\sin (z-i)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n (z-i)^{2n+1}}{(2n+1)!}\) .
oraz:
\(\cos (z-i)= \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{(-1)^n(z-i)^{2n}}{(2n)!}\) .

marta_53
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 31 sty 2015, o 20:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: śląsk

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: marta_53 » 16 sty 2018, o 20:35

Czyli ostatecznie otrzymam \(f(z)= \frac{\cos i \cdot (\text{pierwsza powyższa suma}) + \sin i \cdot (\text{druga suma})}{(z-i)^2}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14138
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: Premislav » 17 sty 2018, o 19:54

Zgadza się. Można to jeszcze troszkę uprościć.

marta_53
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 31 sty 2015, o 20:30
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: śląsk

Re: Rozwijanie funkcji w szereg Laurenta

Post autor: marta_53 » 21 sty 2018, o 19:25

Dziękuję

ODPOWIEDZ