Matematyka.pl

Mam dwa problemy związane z zagadnieniami prawdopodobieństwa.

Pierwsza rzecz to zależność między zbieżnością według prawdopodobieństwa a zbieżnością w \(\displaystyle{ L^p}\).
Wiem, że jeśli ciąg zmiennych losowych jest zbieżny w \(\displaystyle{ L^p}\), to jest zbieżny według prawdopodobieństwa. I tu właśnie chciałbym dopytać o szczegóły. Czy wystarczy aby ciąg był zbieżny w \(\displaystyle{ L^p}\) dla choćby jednego \(\displaystyle{ p}\), czy tez musi on być zbieżny dla dowolnego \(\displaystyle{ p}\), aby zachodziła implikacja?

Rzecz druga, to twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności zmajoryzowanej.
Czy mógłby ktoś przedstawić je w wersji dla zmiennych losowych i prawdopodobieństwa prawie wszędzie?
Czy to byłoby coś takiego:
Jeśli \(\displaystyle{ X_n \rightarrow X}\) pw. oraz ciąg \(\displaystyle{ X_n}\) jest ograniczony, to \(\displaystyle{ EX_n \rightarrow EX}\)
?

Sorry że odpowiem tylko na pierwsze pytanie. Wystarcza, aby zachodziła zbieżność w \(\displaystyle{ L^p}\) dla jednego \(\displaystyle{ p>0}\). Zbieżność ciągu zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)}\) w \(\displaystyle{ L^p}\) do zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) oznacza z definicji, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbf{E}\left| X_n-X\right|^p=0}\), przy czym wymagamy tutaj, by \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X|^p<\infty}\) i \(\displaystyle{ \mathbf{E}|X_n|^P<\infty.}\).
Zbieżność według prawdopodobieństwa ciągu zmiennych losowych \(\displaystyle{ (X_n)}\) do zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\) oznacza z definicji, że
\(\displaystyle{ (\forall \epsilon>0)\left( \lim_{n \to \infty }\mathbf{P}\left(|X_n-X|\ge \epsilon \right) =0\right)}\)
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ \epsilon >0, \ p>0}\) i niech \(\displaystyle{ X_n\stackrel{L^p}\longrightarrow X}\). Z nierówności Markowa:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( |X_n-X|\ge \epsilon\right) \le \frac{\mathbf{E}|X_n-X|^p}{\epsilon^p}}\)
Skoro więc \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \mathbf{E}|X_n-X|^p=0}\), to także
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\mathbf{P}\left(|X_n-X|\ge \epsilon \right) =0}\), c.n.d.