Równanie różniczkowe rzędu drugiego

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Gui
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 12 sty 2018, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie różniczkowe rzędu drugiego

Post autor: Gui » 14 sty 2018, o 16:23

Mam takie oto równanie: \(y''+9y=\sin 3x\). Znalazłem całkę ogólną jednorodnego (\(y=A\cos 3x\ +B\sin 3x\)), ale nijak nie mogę wyliczyć tego szczególnego, próbowałem uzmiennianiem (zamieszałem się, bo dużo rachunków) i "zgadywaniem" (podstawiłem \(y_{SN}=(ax+b)\cos 3x\ +(cx+d)\sin 3x\)). Wiem, że to nie idzie tak prosto bo \(y=\sin 3x\) jest rozwiązaniem ogólnego jednorodnego, dlatego proszę o rozwiązanie, żebym mógł znaleźć błąd.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18651
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn

Re: Równanie różniczkowe rzędu drugiego

Post autor: szw1710 » 14 sty 2018, o 17:02

dlatego proszę o rozwiązanie, żebym mógł znaleźć błąd
I inny cytat
Herod (Mt 2,8) pisze:Udajcie się tam i wypytujcie starannie o Dziecię, a gdy Je znajdziecie, donieście mi, abym i ja mógł pójść i oddać Mu pokłon
Czy to nie podobne? Kolejność jest inna. Ty przedstawiasz swoje rozwiązanie, a my diagnozujemy błędy.

Gui
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 12 sty 2018, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie różniczkowe rzędu drugiego

Post autor: Gui » 14 sty 2018, o 17:08

Błąd chcę znaleźć w swoim rozumowaniu, porównując swoje rozwiązanie do poprawnego

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14144
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Równanie różniczkowe rzędu drugiego

Post autor: Premislav » 14 sty 2018, o 17:37

Nie pamiętam już metody przewidywań, ale szczerze mówiąc nie chce mi się uzmienniać stałych, więc poczytałem tutaj: 140782.htm
(należy tylko odnotować, że jest tam, jak się zdaje, mały konflikt oznaczeń).
Z tego wynika, że powinno zadziałać takie przewidywanie
\(y_{sz}=x(acos 3x+b sin 3x)\)
Wstawmy to do rzeczonego równania \(y''+9y=sin 3x\) i popatrzmy:
\(2cdotleft( -3asin 3x+3bcos 3x ight) +xleft( -9acos 3x-9bsin 3x ight) +9x(acos 3x+bsin 3x)=\=sin 3x\ -6asin 3x+6bcos 3x=sin 3x\)
Stąd otrzymujemy:
\(a=-frac{1}{6}, b=0\),
czyli mamy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego postaci
\(y_{sz}=-frac{1}{6}xcos 3x\).

Polecam przejrzeć wątek, do którego link podałem, tylko spytam jeszcze, czy zauważyłeś konflikt oznaczeń, o którym wspomniałem?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4967
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowe rzędu drugiego

Post autor: janusz47 » 14 sty 2018, o 21:29

\(y^{''} + 9y = \sin(3x)\) (0)

Sposób rozwiązania wymagający znajomości pojęcia quasiwielomianu i liczb zespolonych w zakresie podstawowym.

Funkcję postaci:

\(q(x) = w(y)e^{\lambda\cdot x}\) ( w - wielomian) nazywamy quasiwielomianem stopnia \(n, \ \ n\in \NN\) o wykładniku \(\lambda.\)

Prawa strona równania jest quasiwielomianem stopnia zerowego i

\(\sin(3x) = Im[e^{i\cdot 3x}]\) (0)

Zajmiemy się więc równaniem pomocniczym:

\(y^{''} +9y = e^{i\cdot3x}\)

Równanie charakterystyczne równania jednorodnego:

\(\lambda^2 + 9 = 0\) (1)

ma dwa pierwiastki \(\lambda_{1} = -3i, \ \ \lambda_{2} = 3i.\)

Wobec twierdzenia o rozwiązaniach równania różniczkowego linowego rzędu I - jednym z rozwiązań szczególnych równania (0) jest quasiwielomian stopnia pierwszego:

\(q(x) = (Ax +B)e^{i\cdot 3x}.\)

Powinno więc być spełnione równanie:

\(e^{i\cdot 3x} = [(Ax +B)e^{i\cdot 3x}]^{''} + 9[(Ax +B)e^{i\cdot 3x}] = [Ae^{i\cdot 3x}+3i(Ax +B)e^{i\cdot 3x}]^{'} + 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x} = 3iAe^{i\cdot 3x}+3iAe^{i\cdot 3x}+9i^2 (Ax +B)e^{i\cdot 3x} + 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x}= 6iAe^{i\cdot 3x} - 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x}+ 9(Ax +B)e^{i\cdot 3x} = 6iAe^{i\cdot 3x}.\)

Stąd:

\(1 = 6iA, \ \ A = \frac{1}{6i}, \ \ A =-\frac{1}{6}i, \ \ B\) - dowolna liczba, \(B\in \CC.\)

Znaleźliśmy rozwiązanie szczególne równania:

\(y_{s} = \left(-\frac{1}{6}i \xdot x + B \right)e^{i\cdot 3x}\)

i jego rozwiązanie ogólne:

\(y = \left( -\frac{1}{6}i \xdot x + B \right)e^{i\cdot 3x} +C_{1}e^{-i\cdot 3x}+ C_{2}e^{-\cdot 3x}\) (2)

Z porównania (2) i (0) wynika, że rozwiązaniem ogólnym równania jest funkcja:

\(y = Im \left[\left(-\frac{1}{6}i x + B)(\cos(3x) + i\sin(3x)\right)\right] +C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x) = -\frac{1}{6}x\cos(3x) +B\sin(3x) + C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x) = -\frac{1}{6}x\cdot \cos(3x) + C\sin(3x)+ C_{1}\cos(3x), \\ C = B + C_{2}.\)

\(y = -\frac{1}{6} x \cdot \cos(3x) + C\sin(3x) + C_{1}\cos(3x).\)

ODPOWIEDZ