Matematyka.pl

Jak pokazać że \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}\) jest liczba algebraiczna?

Miałaś rozszerzenia ciał?

Jeśli nie, to polecam obliczyć \(\displaystyle{ a^3,a^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a = \sqrt[3]{2}}\)

Liczba algebraiczna jest pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach wymiernych.

Zatem ułóżmy takie równanie:

\(\displaystyle{ x=\sqrt2+\sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ x-\sqrt2=\sqrt[3]{2}}\)
\(\displaystyle{ (x-\sqrt2)^3=2}\)
\(\displaystyle{ x^3 - 3 \sqrt2 x^2 + 6 x - 2 \sqrt2=2}\)
\(\displaystyle{ x^3-6x-2=3\sqrt2x^2+2\sqrt2}\)
\(\displaystyle{ x^3-6x-2=\sqrt2(3x^2+2)}\)
\(\displaystyle{ x^6 - 12 x^4 - 4 x^3 + 36 x^2 + 24 x + 4=18 x^4 + 24 x^2 + 8}\)

\(\displaystyle{ W(x)=x^6 - 30 x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 + 24 x - 4}\)

Proszę bardzo.

Richard del Ferro, proszę Cię daj mi w spokoju decydować o tym, jak odpowiadam na posty. Poli33, skoro wspaniały Richard już Ci pokazał prymitywne rozwiązanie, proponuję dla Ciebie dodatkowe ćwiczenie:
Pokaż, że suma dowolnych dwóch liczb algebraicznych jest algebraiczna.

Skąd ta agresja? Nawet się do ciebie nie zwróciłem. Odpowiedziałem autorowi posta, bo może nie miał rozszerzenia ciał?
Swoją drogą możesz rozwiązać to zadanie. Ciekawie brzmi.

Skąd ta agresja

Bez przesady.

Nawet się do ciebie nie zwróciłem. Odpowiedziałem autorowi posta. bo może nie miał rozszerzenia ciał?

No to dałem jej wskazówkę na wypadek, gdyby nie miała. Wybacz, ale Twoje dopisywanie postów (bo to drugi raz) wygląda jakbyś sobie jak najszybciej nabijał posty. Co Twoja odpowiedź da Poli? Daj jej szansę popracować nad zadaniem.

W ogóle paskudnie wygląda, kiedy ktoś daje wskazówkę, a ktoś następny pisze gotowca. Wygląda na to, że uważa autor posta za idiotę, który nie umie skorzystać ze wskazówki.

W trakcie mojego pisania posta dodałeś swój. Co tu jakaś kolejka obowiązuje? Jak będzie chciał to sobie sprawdzi. A to za kogo uważam poprzednika to moja prywatna sprawa.

Jak będzie chciał to sobie sprawdzi

Wiadomo, że mało kto oparłby się pokusie przeczytania gotowca.

A to za kogo uważam poprzednika to moja prywatna sprawa.

Byle nie za komucha.

Żeby mnie nie zamknęli za offtop:

Poli, jeśli miałaś ciała (a podejrzewam, że tak - mam nosa do tych spraw). Zauważ , że algebraiczność \(\displaystyle{ \alpha}\) jest równoważna temu, że \(\displaystyle{ \QQ \hookrightarrow \QQ(\alpha)}\) jest skończone. Teraz jeśli \(\displaystyle{ \beta}\) jest drugim algebraicznym elementem, to również rozszerzenie \(\displaystyle{ \QQ(\alpha) \hookrightarrow \QQ(\alpha,\beta)}\) jest skończone. Co teraz można powiedzieć o rozszerzeniu \(\displaystyle{ \QQ \hookrightarrow \QQ(\alpha+\beta)}\) ?

Ja na przykład uważam wszystkich ludzi oprócz mnie samego za idiotów.

Rozwiązanie „nieprymitywne" (rzeczywiście w moim odczuciu nazwanie czyjegoś rozwiązania prymitywnym to przejaw może nie agresji, ale z pewnością braku taktu):
najpierw prościutki lemat – liczby algebraiczne tworzą ciało. Jak widać, dowód lematu jest tak prosty, że można by go zostawić jako łatwe ćwiczenie dla czytelnika.
Teraz skonstatujmy, że zarówno \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\), jako pierwiastek \(\displaystyle{ P(x)=x^2-2}\), jak i \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\), jako pierwiastek \(\displaystyle{ Q(x)=x^3-2}\) są liczbami algebraicznymi, stąd i z lematu także \(\displaystyle{ \sqrt{2}+\sqrt[3]{2}}\) jest liczbą algebraiczną, c.n.d.

PS Slow market!

Posty niezwiązane z tematem będą usuwane.

O gotowcach można porozmawiać np. tutaj: 160791.htm .

JK