Równanie różniczkowe niejednorodne (dwoma sposobami)

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Gui
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 12 sty 2018, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Równanie różniczkowe niejednorodne (dwoma sposobami)

Post autor: Gui » 13 sty 2018, o 17:20

Cześć! Mam do rozwiązania równanie: \(y'+2y=x^2\). Samo równanie nie należy do najtrudniejszych, ale przy dodatkowym poleceniu, aby rozwiązać dwoma sposobami, uzmienniając stałą wychodzi mi wynik \(y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}\), a przy odgadywaniu całki szczególnej (która wyszła mi \(y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}\)), dodając do tego całkę równania jednorodnego ostateczna całka ogólna wychodzi \(y=\frac {1} {2}\ x^2 - \frac {1} {2}\ x + \frac {1} {4}\ +Ce^{-2x}\). I to właśnie rozwiązanie jest poprawne, bo znalazłem to zadanie w "krysickim", ale jest tam tylko tą metodą zgadywania. Mógłby ktoś rozwiązać uzmienniając, żebym mógł sobie porównać i znaleźć błąd?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Równanie różniczkowe niejednorodne (dwoma sposobami)

Post autor: Premislav » 13 sty 2018, o 17:46

Równanie jednorodne:
\(y'+2y=0\\ \frac{y'}{y}=-2\\ \ln |y|=-2x+C\\ y=C_1 \cdot e^{-2x}\)
Teraz przyjmując \(C_1=C_1(x)\) i wstawiając do równania niejednorodnego, otrzymujemy:
\(C_1'(x)e^{-2x}-2C_1(x) e^{-2x}+2C_1(x)e^{-2x}=x^2\\C_1'(x)=x^2 \ e^{2x}\)
i teraz całkujemy ten syf przez części:
\(C_1(x)= \int_{}^{} x^2 e^{2x}\,\dd x= \frac{1}{2}x^2 e^{2x}- \int_{}^{} xe^{2x}\,\dd x=\\=\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 2 \int_{}^{}e^{2x}\,\dd x=\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 4e^{2x}\)
z dokładnością do stałej,
więc rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest postaci
\(y_{sz}=e^{-2x}\left(\frac 1 2x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}xe^{2x}+\frac 1 4e^{2x}\right)=\\=\frac 1 2x^2 -\frac{1}{2}x+\frac 1 4\)
a więc rozwiązanie ogólne jest postaci…

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

Re: Równanie różniczkowe niejednorodne (dwoma sposobami)

Post autor: kerajs » 13 sty 2018, o 17:53

Inaczej:
\(y'+2y=x^2\\ y'e^{2x}+2ye^{2x}=x^2e^{2x}\\ (ye^{2x})'_x=x^2e^{2x}\\ ye^{2x}= \int_{}^{} x^2e^{2x} \mbox{d}x \\ ye^{2x}= \frac{1}{2} x^2e^{2x} -\frac{1}{2} xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C\\ y= \frac{1}{2} x^2 -\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}+Ce^{-2x}\)

ODPOWIEDZ