Matematyka.pl

Niech ABCD bedzie czworokątem wypukłym w którym \(\displaystyle{ AB = BD, \angle BAC = 30^o}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ADC = 150^o.}\)
Pokaż że \(\displaystyle{ \angle BCA = \angle ACD.}\)

Zrób rysunek, zaznacz kąty i te same długości. Widzisz gdzieś trójkąt równoramienny?
Pozdrawiam!

No widzę ten oczywisty, a jest jakiś inny?

Dołączam się do pytania.

Niech \(\displaystyle{ \angle CAD= \alpha}\) oraz \(\displaystyle{ \angle ACB= \beta}\). Aby istniał czworokąt to \(\displaystyle{ 0^{\circ} \le \alpha <30^{\circ}}\). Zachodzą związki:
1)
\(\displaystyle{ \cos (30^{\circ}+ \alpha ) = \frac{ \frac{1}{2} \left| AD\right|}{\left| BD\right| } \Rightarrow \left| AD\right|=2\left| BD\right|\cos (30^{\circ}+ \alpha ) =2\left| AB\right|\cos (30^{\circ}+ \alpha )}\)
2)
\(\displaystyle{ \frac{\left| AC\right| }{\sin 150^{\circ} } = \frac{\left| AD\right|}{\sin (30^{\circ}- \alpha)}}\)
3)
\(\displaystyle{ \frac{\left| AC\right| }{\sin (150^{\circ}- \beta ) } = \frac{\left| AB\right|}{\sin \beta }}\)

Do 2) wstawiam wyliczone AD z 1), a następnie porównuję AD/AC z 2) i 3).
Uzyskane równanie trygonometryczne można przekształcić do
\(\displaystyle{ \sin (30^{\circ}- \alpha - \beta ) =0}\)
co da tezę.