układ równań różniczkowych jednorodnych

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
sportowiec1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: małopolska

układ równań różniczkowych jednorodnych

Post autor: sportowiec1993 » 11 sty 2018, o 09:21

Mam rozwiązać następujący układ:
\(\begin{cases}x'(t)=x(t)+y(t)\\y'(t)=x(t)+y(t)\end{cases}\)
Zastanawiam się, gdzie w poniższym rozwiązaniu zrobiłem błąd?
Wartości własne macierzy:
\(\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}\)
to \(\lambda_{1}=0\) i \(\lambda_{2}=-2\)
odpowiadające im wektory własne:
\(\textbf{v} _{1} = (1, - 1)^{T}\), \(\textbf{v} _{2} = (1, 1)^{T}\) stąd:

\(\begin{cases}x(t)=c_{1} \cdot e^{\lambda _{1} \cdot x } + c_{2} \cdot e^{\lambda _{2} \cdot x } \\y(t)=-c_{1} \cdot e^{\lambda _{1} \cdot x } + c_{2} \cdot e^{\lambda _{2} \cdot x}\end{cases}\) stąd \(\begin{cases}x(t)=c_{1} + c_{2} \cdot e^{-2 \cdot x } \\y(t)=-c_{1} + c_{2} \cdot e^{-2x}\end{cases}\)

bo tutaj wychodzi, że: \(x'(t) = -2 \cdot c_{2} e^{-2x}\),
natomiast \(x(t) + y(t) =2 \cdot c_{2} e^{-2x}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7144
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna

układ równań różniczkowych jednorodnych

Post autor: kerajs » 11 sty 2018, o 09:26

sportowiec1993 pisze: Wartości własne macierzy:
\(\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}\)
to \(\lambda_{1}=0\) i \(\lambda_{2}=-2\)
to \(\lambda_{1}=0\) i \(\lambda_{2}=2\)

sportowiec1993
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 19 wrz 2009, o 19:59
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: małopolska

Re: układ równań różniczkowych jednorodnych

Post autor: sportowiec1993 » 11 sty 2018, o 09:46

dzięki

ODPOWIEDZ