Łatwe. Granica, ciąg arytm. i ciąg geometr.
: 9 sty 2018, o 02:17
Kolejna wtopka: liczę drugi, trzeci raz i nie mogę znaleźć błędu w moich rachunkach :<
\(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) - ciąg arytmetyczny, \(\displaystyle{ a_1 = 3, r=2}\);
\(\displaystyle{ (b_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) - ciąg geometryczny, \(\displaystyle{ b_1=2, q=3}\).
Obliczyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\log{b_n}}}\).
Czyli tzw. banalik: "skorzystaj ze wzorów na ciągi i oblicz proste równanie" : P Ale mi ciągle wychodzi odpowiedź inna od podręcznikowej i mnie to taaak denerwuje...
\(\displaystyle{ b_n=2\cdot 3^{n-1}}\),
\(\displaystyle{ a_n=3+(n-1)2}\),
\(\displaystyle{ a_1+\cdots +a_n=n\frac{2\cdot3+(n-1)2}{2}=n(2+n)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{n(2+n)}{n\log 2\cdot 3^{n-1}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to \infty} \frac{2+n}{\log 2 + -1\log 3 + n\log 3 }=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{2}{n}+1}{\frac{\log 2 -1\log 3}{n} + \log 3 }=\frac{1}{\log 3}}\)
Jakieś przeoczenie? Albo, o zgrozo, nielegalne przekształcenie wykręciłem?!
\(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) - ciąg arytmetyczny, \(\displaystyle{ a_1 = 3, r=2}\);
\(\displaystyle{ (b_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) - ciąg geometryczny, \(\displaystyle{ b_1=2, q=3}\).
Obliczyć:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n\log{b_n}}}\).
Czyli tzw. banalik: "skorzystaj ze wzorów na ciągi i oblicz proste równanie" : P Ale mi ciągle wychodzi odpowiedź inna od podręcznikowej i mnie to taaak denerwuje...
\(\displaystyle{ b_n=2\cdot 3^{n-1}}\),
\(\displaystyle{ a_n=3+(n-1)2}\),
\(\displaystyle{ a_1+\cdots +a_n=n\frac{2\cdot3+(n-1)2}{2}=n(2+n)}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{n(2+n)}{n\log 2\cdot 3^{n-1}}=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to \infty} \frac{2+n}{\log 2 + -1\log 3 + n\log 3 }=}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{2}{n}+1}{\frac{\log 2 -1\log 3}{n} + \log 3 }=\frac{1}{\log 3}}\)
Jakieś przeoczenie? Albo, o zgrozo, nielegalne przekształcenie wykręciłem?!