Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
wrc_fan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 5 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: wrc_fan » 26 wrz 2007, o 13:45

Losowo ustawia się ciąg 8 osób. Niech \(\displaystyle{ P_{i}}\) oznacza prawdopodobieństwo tego, że \(\displaystyle{ i}\) osób stoi na ustalonych dla siebie \(\displaystyle{ i}\)-miejscach . Udowodnij, że

\(\displaystyle{ \frac{P_{2}\cdot P_{4}\cdot P_{6}\cdot P_{8}}{P_{1}\cdot P_{3}\cdot P_{5}\cdot P_{7}}=105}\)

Proszę serdecznie o pomoc w rozwiązaniu i z góry dziękuję

Temat poprawiłam. Polecam lekturę Regulaminu i poprawne nazywanie tematów. Kasia
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2007, o 20:25 przez wrc_fan, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

paicey
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: paicey » 26 wrz 2007, o 17:59

Próbowałem to liczyć w ten sposób: wszystkich ustawień 8 osób jest 8!, jest to ilość zdarzeń elementarnych. \(\displaystyle{ P_{1}}\) - pierwsza osoba stoi na pierwszym miejscu, reszta ustawia się na 7! różnych sposobów. \(\displaystyle{ P_{2}}\)- pierwsza osoba stoi na pierwszym miejscu, druga osoba na drugim miejscu, pozostałe ustawiają się na 6! różnych sposobów, itd. Tylko mi wychodzi zupełnie inna liczba niż 105... Może się gdzieś pomyliłem. Skąd masz to zadanie ?

wrc_fan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 wrz 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bytom
Podziękował: 5 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: wrc_fan » 26 wrz 2007, o 18:31

Nauczycielka podyktowała nam je z jednej ze swoich książek ;/

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: max » 26 wrz 2007, o 19:12

paicey a co z ustawieniami, kiedy początkowe osoby nie stoją na swoich miejscach?
Tak czy inaczej ta równość nie zachodzi (albo treść zadania ma inny sens niż ten, który odczytuję - \(\displaystyle{ P_{i}}\) traktuję jako prawdopodobieństwo tego, że co najmniej \(\displaystyle{ i}\) osób będzie znajdowało się na swoich miejscach (oczywiście równość nie ma sensu, gdy \(\displaystyle{ P_{i}}\) oznacza prawdopodobieństwo ustawienia dokładnie \(\displaystyle{ i}\) osób na ich miejscach, bo wtedy \(\displaystyle{ P_{7} = 0}\))) - gdyż np ciąg \(\displaystyle{ (P_{n})}\) jest nierosnący.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6923
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2617 razy
Pomógł: 687 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: mol_ksiazkowy » 26 wrz 2007, o 19:16

hmm, moze Pi to ilosc ustawień z i punktami stałymi..
badz tez jeszcze cos innego....?!

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: Emiel Regis » 26 wrz 2007, o 19:19

Ja to zadanie tak widze:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{(8-i)!}{8!}}\)
Czyli i osób stawiamy na ich miejsach, a pozostałe 8-i osób permutujemy dowoli. Oczywiscie wtedy wynik wychodzi zgoła inny niż podany w tresci zadania.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: max » 26 wrz 2007, o 19:21

mol_ksiazkowy napisał:
hmm, moze Pi to ilosc ustawień z i punktami stałymi..
Jak napisałem już wcześniej, wtedy \(\displaystyle{ P_{7} = 0}\) ...

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: Emiel Regis » 26 wrz 2007, o 19:25

Dlaczego zero?
Ustawiamy 7 osób (czyli de facto ustawiamy juz ich 8), a takie ustawienie jest dokładnie jedno.
Czyli:
\(\displaystyle{ P_7=P_8=\frac{1}{8!}}\)
Chyba że my o czym innym mówimy.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: max » 26 wrz 2007, o 19:30

Drizzt pisze:Ustawiamy 7 osób (czyli de facto ustawiamy juz ich 8), a takie ustawienie jest dokładnie jedno.
Wtedy jest osiem punktów stałych. Zresztą to już zależy czy tych punktów stałych ma być co najmniej siedem, czy dokładnie 7 (patrz mój pierwszy post w tym wątku).

[ Dodano: 26 Września 2007, 19:56 ]
Btw.
Drizzt pisze:Ja to zadanie tak widze:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{(8-i)!}{8!}}\)
To raczej jest niepoprawne podejście, bo najpierw trzeba te osoby wybrać...
Wg mnie byłoby: \(\displaystyle{ P_{i} = \frac{\sum_{k = i}^{8}{8\choose k}d_{8 - k}}{8!}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d_{i}}\) to liczba nieporządków (permutacji bez punktów stałych) zbioru i-elementowego.

jovante
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 204
Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Pomógł: 56 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: jovante » 26 wrz 2007, o 22:30

Ponieważ

\(\displaystyle{ P_0=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{n \choose i}(n-i)!}{n!}=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}}\)

to

\(\displaystyle{ P_k=\frac{\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}}{k!}}\)

przy założeniu, że dokładnie k osób stoi na swoich miejscach

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: Sir George » 28 wrz 2007, o 20:47

Fajne zadanie ... choć moim zdaniem powinno być: \(\displaystyle{ \frac{P_2\cdot P_4\cdot P_6\cdot P_8}{P_1\cdot P_3\cdot P_5\cdot P_7}\,=\,\frac1{105}}\)

.

.

.

... I co Wy na to...

[ Dodano: 28 Września 2007, 21:49 ]
.
.
BTW: jak pisze
wrc_fan pisze:że i osób stoi na ustalonych dla siebie i-miejscach
to nic nie pisze, że pozostali nie mogą stać na ustalonych przez siebie miejscach... znaczy się - mogą

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: max » 28 wrz 2007, o 22:30

Sir George pisze: ... I co Wy na to...
Ups

.

.

.

To i tak nie jest prawda

Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: Sir George » 28 wrz 2007, o 22:47

max pisze:To i tak nie jest prawda
Może i nie jest, nie będę się upierał...

Jednak przyjmując, że \(\displaystyle{ P_i}\) to pstwo, że conajmniej i osób spośród n stoi na ustalonych przez siebie miejscach, to \(\displaystyle{ P_{i+1}=\frac1{n-i}P_i}\)

.

A moim zdaniem wynika to z pstwa warunkowego

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: max » 28 wrz 2007, o 23:58

Ale jak w takim razie skomentujesz takie rozumowanie:

(1) Liczba \(\displaystyle{ q_{i}}\) takich permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego o dokładnie \(\displaystyle{ i}\) punktach stałych wynosi:
\(\displaystyle{ p_{i} = {n\choose i} d_{n - i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d_{i}}\) oznacza liczbę permutacji bez punktów stałych zbioru \(\displaystyle{ i}\) elementowego (\(\displaystyle{ i}\) elementów zbioru, które będą punktami stałymi możemy wybrać na \(\displaystyle{ {n \choose i}}\) sposobów, zaś pozostałe \(\displaystyle{ n - i}\) elementy możemy ustawić na \(\displaystyle{ d_{n - i}}\) sposobów).
(2) Na mocy (1) liczba \(\displaystyle{ p_{i}}\) permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego o co najmniej \(\displaystyle{ i}\) punktach stałych wynosi:
\(\displaystyle{ p_{i} = \sum_{k = i}^{n} q_{k}}\)
(3) W związku z powyższymi uwagami dla \(\displaystyle{ n = 8, \ i = 6}\) mamy \(\displaystyle{ p_{i + 1} = 1, \ p_{i} = 29}\), a ponieważ ze schematu klasycznego \(\displaystyle{ P_{i} = \frac{p_{i}}{n!}}\), to nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ P_{i + 1} = \frac{1}{n - i}P_{i}}\)


Awatar użytkownika
Sir George
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1145
Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Konopii
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 203 razy

Ustawianie ośmiu osób w szereg.

Post autor: Sir George » 1 paź 2007, o 15:24

UUUUPS! (takie wielkie !!!)
max, masz rację.... jak zabrałem się za rachunki, to nie zgadza się nawet dla n=3 i i=1. Cóż, prawdopodobieństwo warunkowe nie jest moją najmocniejszą stroną, a na palcach rzeczywiście liczy się dokładniej...

pozdrawiam skromnie

ODPOWIEDZ