Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
crayan4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 14 sie 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: crayan4 » 26 wrz 2007, o 13:02

Zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu funkcji:

\(\displaystyle{ f_{n}(x) = e^{\frac{x}{n + 1}}}\) na:

1) zbiorze \(\displaystyle{ [-1;1]}\)
2) na prostej \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)

jak to zrobić wiem, że chyba w pierwszym bedzie punktowa i jednostajna a w drugim chyba jakiś kontrprzykład ale nie jestem pewny...

Poprawiłem ortografię, temat i zapis.
max
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2007, o 14:22 przez crayan4, łącznie zmieniany 1 raz.

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: robin5hood » 26 wrz 2007, o 13:31

Ciąg funkcji \(\displaystyle{ (f_{n}(x))_{n\in\mathbb{N}}}\) określonych w przedziale \(\displaystyle{ X}\) jest zbieżny jednostajnie wtw gdy ciąg:
\(\displaystyle{ s_{n} = \sup\{|f_{n}(x)-f(x)|\ : \ x\in X \}}\) jest zbieżny do zera.
a)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f_n(x)=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in [-1,1] \}}\)
pochodna \(\displaystyle{ f_{n}(x)-1}\) sie nie zereuje dla kazdego \(\displaystyle{ x\in [-1,1]}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|e^{\frac{1}{n + 1}}-1|\ : \ x\in [-1,1] \}=0}\)
wiec ten ciag jest jednostajnie zbiezny
b)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } f_n(x)=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in R \}}\)
pochodna \(\displaystyle{ f_{n}(x)-1}\) sie nie zeruje i do tego \(\displaystyle{ f_{n}(x)-1}\) jest rosnąca w całej dziedzine
zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in R \}=\lim_{n\to } \sup\|e^{\frac{x}{n + 1}}-1|\ : \ x\in R \}=+ }\)
wiec ten ciąg nie jest jednostajnie zbiezny

crayan4
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 72
Rejestracja: 14 sie 2007, o 17:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Zbieżność punktowa i jednostajna ciągu

Post autor: crayan4 » 29 wrz 2007, o 11:20

nie rozumiem czemu w pierwszym przypadku:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in [-1,1] \}= 0}\) ??

i czemu w drugim przypadku:

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } \sup\{|f_{n}(x)-1|\ : \ x\in R \}=\lim_{n\to } \sup\|e^{\frac{x}{n + 1}}-1|\ : \ x\in R \}=+ }\) ??


Można tak na "chłopski" rozum ??

ODPOWIEDZ