Metoda operatorowa

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Spider49
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2017, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Metoda operatorowa

Post autor: Spider49 » 7 sty 2018, o 17:03

Witam,
Mam problem z rozwiązaniem tego układu metodą operatorową.

\(\begin{cases} x'+x-z=0 \\ z'+y'+y=0 \\ x'+x-z'=0 \end{cases}\)

Zapisałem powyższy układ przy użyciu operatorów.

\(\begin{cases} (D+1)x-z=0 \\ Dz+(D+1)y=0 \\ (D+1)x-Dz=0 \end{cases}\)

\(\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}=-D^3-3D^2-3D-1\)

\(\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}x=\begin{bmatrix} 0&0&-1\\0&D+1&D\\0&0&-D\end{bmatrix}=0\)

\(\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}y=0\)

\(\begin{bmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{bmatrix}z=0\)

w ten sposób otrzymałem równania zwyczajne rzędu trzeciego:

\((-D^3-3D^2-3D-1)x=-x'''-3x''-3x'-x=0\)
\((-D^3-3D^2-3D-1)y=-y'''-3y''-3y'-y=0\)
\((-D^3-3D^2-3D-1)z=-z'''-3z''-3z'-z=0\)

Tutaj chciałem rozwiązać równanie metodą przewidywań.
równanie charakterystyczne:

\(-x'''-3x''-3x'-x=0\)

\(-\lambda^3-3\lambda^2-3\lambda-1=0\)

\((-\lambda^2-2\lambda-1)(\lambda+1)=0\)

\(\Delta=0\)

\(\lambda=-1\)

\((\lambda+1)^3=0\)

W tym miejscu nie wiem jaką postać będzie miała powyższe równanie. Czy na tym etapie wszystko jest w porządku oraz co trzeba zrobić dalej ?
Ostatnio zmieniony 8 sty 2018, o 08:55 przez Spider49, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Metoda operatorowa

Post autor: Premislav » 7 sty 2018, o 18:19

Nie znam tej metody operatorowej, ale trochę mnie niepokoi to rozwiązanie, ponieważ w układzie dostrzegam pewną asymetrię, a Twoja próba rozwiązania w pewien sposób tę asymetrię gubi.

Ponieważ jestem leniwy, więc zauważyłbym, że z pierwszego i trzeciego równania wynika, iż
\(z'=z\), czyli \(z=C_1 e^t\), po zastosowaniu obserwacji \(z'=z\) do pierwszego i drugiego równania możemy zaś otrzymać \((x+y)'=-(x+y)\), czyli \(x(t)+y(t)=C_2 e^{-t}\). Ponadto różniczkując stronami pierwsze równanie i wstawiając za \(z'\) do trzeciego, dostajemy bodajże \(x''=x\), a to ma znane rozwiązanie (krotności sinusa i cosinusa). I już prawie koniec.

Jednak rozumiem, że temat ma na celu przećwiczenie ogólnego schematu, obawiam się więc, że błędnie go stosujesz.
Pozdrawiam.

-- 7 sty 2018, o 19:21 --

Jak masz w necie jakieś materiały o tej metodzie, to podrzuć, a może zerknę, mnie jedyne, co się kojarzy z nazwą „metoda operatorowa" to zastosowanie transformaty Laplace'a.

Spider49
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 gru 2017, o 15:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Re: Metoda operatorowa

Post autor: Spider49 » 7 sty 2018, o 18:31

Korzystałem z tych stron:
https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/op ... duleId=585
https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/op ... duleId=584

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14146
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Re: Metoda operatorowa

Post autor: Premislav » 7 sty 2018, o 18:51

Aha, dzięki. No to tak to czytam i wychodzi na to, że sam jestem asymetria, to wygląda poprawnie.

Skoro otrzymałeś równanie charakterystyczne \((\lambda+1)^3=0\) , to rozwiązanie ogólne równania jednorodnego jest postaci \(x(t)=C_1 e^{-t}+C_2 te^{-t}+C_3t^2e^{-t}\) , o ile dobrze pamiętam.

Nie widzę tu jednak zastosowania dla metody przewidywań, przecież otrzymałeś układ równań jednorodnych.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL

Re: Metoda operatorowa

Post autor: SlotaWoj » 7 sty 2018, o 19:24

I aby nie wprowadzać w błąd, to wszędzie w zapisie powinny być wyznaczniki, a nie macierze:
  • \(\begin{vmatrix} D+1&0&-1\\0&D+1&D\\D+1&0&-D\end{vmatrix}=-D^3-3D^2-3D-1\)

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6695
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E

Re: Metoda operatorowa

Post autor: mariuszm » 8 sty 2018, o 02:41

Czy metoda operatorowa to nie przekształcenie Laplace?

ODPOWIEDZ