Matematyka.pl

Dla jakiego parametru t równanie ma dokładnie 1 rozwiązanie. Podaj to rozwiązanie:
\(\displaystyle{ log^2_{10}x + t = \sqrt{log_{10}x - t}}\)

[ Dodano: 25 Września 2007, 22:30 ]
z góry dziękuję

Niech \(\displaystyle{ a=\log_{10}x}\). Wtedy równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ a^2+t=\sqrt{a-t} \\
(a^2+t)^2=a-t \\
t^2+t(2a^2+1)+a^4-a=0}\)
Rozwiązanie ma mieć dokładnie jedno rozwiązanie, więc \(\displaystyle{ \Delta=0}\):
\(\displaystyle{ (2a^2+1)^2-4(a^4-a)=0 \\
4a^4+4a^2+1-4a^4+4a=0 \\
4a^2+4a+1=0 \\
(2a+1)^2=0 \\
a=-\frac{1}{2} \\
\log_{10}x=-\frac{1}{2} \ x=\frac{\sqrt{10}}{10}}\)

pozwolę sobie dokończyć bo t zostało wyznaczyć

więc:

podstawiamy \(\displaystyle{ log{10}_x = -\frac{1}{2}}\)

i mamy coś takiego :

\(\displaystyle{ (-\frac{1}{2})^2 + t = \sqrt{-\frac{1}{2} - t}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{1}{4} + t)^2= -\frac{1}{2} - t}\)
więc po przeniesieniu:
\(\displaystyle{ t^2 + \frac{3}{2}t + \frac{9}{16} = 0}\)
a skoro wiadomo że \(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
to \(\displaystyle{ t = \frac{-\frac{3}{2}}{2} = -\frac{3}{4}}\)
dobrze ?

No tak, jakoś rozwiązując zadanie zadowoliłem się znalezieniem x Ale cieszę się, że dalej sobie poradziłeś z zadaniem, oczywiście poprawnie. Życzę powodzenia i pozdrawiam.

równanie przekształcamy do postaci \(\displaystyle{ a^2=\sqrt{a-t}-t}\)
w układzie współrzędnych szkicujemy wykresy funkcji \(\displaystyle{ a^2}\) i funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) którą następnie przesuwamy o wektor \(\displaystyle{ [t,-t]}\). przesuwamy wykres funkcji \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) wzdłuż prostej \(\displaystyle{ y=-a}\) i zauważamy., że wyjściowe równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dla \(\displaystyle{ t\in(-1;0)\cup {\frac{1}{4}}}\)

[ Dodano: 3 Października 2007, 13:22 ]
proszę się ustosunkować do mojej odpowiedzi, bo być może się mylę