Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Szymek10 » 25 wrz 2007, o 22:23

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

Wyznacz takie wartości parametru m, dla których wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania \(\displaystyle{ 5x^{2}-mx+1=0}\) jest równa 1.
Z góry dzięki!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Sylwek » 25 wrz 2007, o 22:51

Wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\). Spróbujemy zrobić mały mix, a potem wzory Viete'a:

\(\displaystyle{ |x_{1}-x_{2}|=\sqrt{x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2}=\sqrt{x_{1}^2+2x_{1}x_{2}+x_{2}^2-4x_{1}x_{2}} =\sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}} = \\ =\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=\sqrt{\frac{m^2-20}{25}} \\ \sqrt{\frac{m^2-20}{25}}=1 \\ m^2-20=25 \\ m^2=45 \\ m=3\sqrt{5} \vee m=-3\sqrt{5}}\)

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Szymek10 » 25 wrz 2007, o 22:54

eeee .. a jakoś bez rozpisywania na wzory skróconego mnożenia pod pierwiastkiem da się to zrobić ?? i skąd pod drugim pierwiastkiem pojawiło się \(\displaystyle{ 4x_{1} x_{2}}\) ?
Ostatnio zmieniony 25 wrz 2007, o 23:05 przez Szymek10, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Sylwek » 25 wrz 2007, o 23:04

Nie wiem, rozpisywałem po to, aby otrzymać podstać wzorów Viete'a i chyba się zgodzisz, że ładnie wyszło. To jest chyba najkrótsza metoda. Nie wiem jakbyś chciał to zrobić?

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Szymek10 » 25 wrz 2007, o 23:07

W sumie masz racje. Tylko skąd się bierze to \(\displaystyle{ 4x_{1}x_{2}}\) pod drugim pierwiastkiem?

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Sylwek » 25 wrz 2007, o 23:30

Dodałem i odjąłem to samo:
\(\displaystyle{ \sqrt{x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2}=\sqrt{x_{1}^2+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2-2x_{1}x_{2}}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}}}\)

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Szymek10 » 25 wrz 2007, o 23:34

Nie rozumiem. Dlaczego tak dodałeś i odjąłeś ?

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Piotr Rutkowski » 26 wrz 2007, o 16:18

Bo miał taką zachciankę i jest sprytny :wink: A tak na serio, bo mamy we wzorach Viete'a wzór na sumę, a nie ma wzoru na różnicę pierwiastków :wink:

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Szymek10 » 26 wrz 2007, o 22:05

Ostanie pytanie:
Założenia do wypisania przed zadaniem to

\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

\(\displaystyle{ |x_{1}-x_{2}| > 0}\)

\(\displaystyle{ |x| = \sqrt{x^{2}}}\)

czy mam coś źle ?

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: soku11 » 26 wrz 2007, o 22:23

Ostatnie to nie zalozenie... To najzwyklejszy wzor. POZDRO

Szymek10
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 3 gru 2006, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 31 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: Szymek10 » 26 wrz 2007, o 22:32

a więc jak to ma wyglądac ;/ ? ale zamota ....

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Post autor: soku11 » 26 wrz 2007, o 23:03

Zalozenia to te dwa pierwsze. Trzecia linijka to powinien byc ci znany standardwoy wzor, ktory ulatwia rozpisanie drugiego zalozenia. POZDRO

ODPOWIEDZ