Elementarny problem z pochodną

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
konieczkson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 sty 2018, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Elementarny problem z pochodną

Post autor: konieczkson » 4 sty 2018, o 22:34

Dzień dobry

Postaram się to napisać najbardziej skrótowo jak potrafię.
Muszę napisać równanie dla wody wypływającej ze stożka, zależność wysokości wody od natężenia przepływu. Wiadomo że:

\(\displaystyle{ q = \frac{dV}{dt}}\)

a objętość stożka:

\(\displaystyle{ V = \frac{1}{3} \pi \tg (\alpha) h^{3}}\)

I tu mam problem - jak wstawić wzór na objętość do tej pochodnej?

czy to ma być tak:

\(\displaystyle{ q = \frac{1}{3} \pi \tg (\alpha) \frac{dh}{dt} \frac{dh}{dt} \frac{dh}{dt}}\)

?
Ostatnio zmieniony 4 sty 2018, o 22:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Elementarny problem z pochodną

Post autor: SlotaWoj » 4 sty 2018, o 23:08

  1. Masz wyprowadzić wzór \(\displaystyle{ h(q)}\) , a nie \(\displaystyle{ q(h)}\) .
  2. Potrzebna będzie powierzchnia otworu wypływowego \(\displaystyle{ S_o}\) .
    • \(\displaystyle{ v=\sqrt{2gh}}\) – prawo Toricellego
      \(\displaystyle{ q=S_ov}\)
  3. Nie ma znaczenia, że zbiornik ma kształt stożka.
    Nb. wzór na objętość stożka jest błędny.

konieczkson
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 4 sty 2018, o 22:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Re: Elementarny problem z pochodną

Post autor: konieczkson » 4 sty 2018, o 23:22

Chcę tylko wiedzieć, jak się podstawia coś takiego. Pomińmy układ, otwory itd.

a wzór faktycznie błędny, ma być tangens do kwadratu. Dziękuje za uwagę.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Elementarny problem z pochodną

Post autor: SlotaWoj » 5 sty 2018, o 00:32

  • \(\displaystyle{ h=\frac{v^2}{2g}=\frac{q^2}{2gS_o^2}}\)
W zadaniu czas nie występuje i nie ma potrzeby używania:
  • \(\displaystyle{ q=\ddfrac{V}{t}}\)

ODPOWIEDZ