Matematyka.pl

Witam, serdecznie proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Uzasadnij, że dla dowolnych kątów \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) spełniających warunki \(\displaystyle{ 0^\circ<\alpha<180^\circ}\) i \(\displaystyle{ 0^\circ<\beta<180^\circ}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ \sin^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\beta\cos^2\alpha=\sin^2\alpha-\sin^2\beta}\).

Dziękuję i pozdrawiam serdecznie.

A spróbuj sam (jedynka trygonometryczna).

Przecież presupozycją jedynki trygonometrycznej jest fakt, że kąt jest mniejszy od \(\displaystyle{ 90^\circ}\), tzn. znajduje się on w trojkącie prostokątnym - wszak jedynkę trygonometryczną wyprowadza się z twierdzenia Pitagorasa.

No to użyj wzorów redukcyjnych i przekonaj się, że jedynka trygonometryczna zachodzi zawsze.

PS. Jakie ładne słowo: presupozycja.

Okej już rozumiem.

Z jedynki trygonometrycznej mamy:
\(\displaystyle{ \cos ^2\beta = 1 -\sin ^2\beta}\)
\(\displaystyle{ \cos ^2\alpha = 1 - \sin ^2\alpha}\) , stąd

\(\displaystyle{ \sin ^2\alpha\cos ^2\beta - \sin ^2\beta\cos ^2\alpha=\sin ^2\alpha(1-\sin ^2\beta) - \sin ^2\beta(1-\sin ^2\beta) =\\= \sin ^2\alpha - \sin ^2\alpha\sin ^2\beta -\sin ^2\beta + \sin ^2\beta\sin ^2\alpha =\sin ^2\alpha - \sin ^2\beta}\)

\(\displaystyle{ q. e. d}\)

Z ciekawości, chciałem się jeszcze zapytać: widziałem takie rozwiązadnie, w którym przekształca się prawą stronę:
\(\displaystyle{ \sin ^2\alpha - \sin ^2\beta=(\sin \alpha-\sin \beta)(\sin \alpha+\sin \beta)=\\=(\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta)(\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta)=\sin ^2\alpha\cos ^2\beta-\sin ^2\beta\cos ^2\alpha}\)

Czy ono jest w ogóle poprawne? Jak dokonano przejścia:
\(\displaystyle{ (\sin \alpha-\sin \beta)(\sin \alpha+\sin \beta)=(\sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta)(\sin \alpha\cos \beta+\cos \alpha\sin \beta)}\) ? To znaczy, znam wzory redukcyjne, tylko nie widzę przy pomocy którego dokonano tego przekształcenia.

Inne pytanie: jakie konkretnie ma tutaj znaczenie założenie, iż:
\(\displaystyle{ 0^\circ<\alpha<180^\circ \wedge 0^\circ<\beta<180^\circ}\)

Dziękuję i pozdrawiam serdecznie

A gdzie to widziałeś ?

Szczerze, to mój znajomy mi to wysłał, że tak ma być. Pewnie źle, co nie?

\(\displaystyle{ (\sin\alpha-\sin\beta)(\sin\alpha+\sin\beta)=(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta)(\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)}\)
to jest prawda, ale bez dodatkowego uzasadnienia tej równości przyznałbym zero punktów za coś takiego.
Zauważmy, że
\(\displaystyle{ \sin \alpha\cos \beta-\cos \alpha\sin \beta=\sin(\alpha-\beta)\\\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)}\)
(wzory na sinus sumy i sinus różnicy), więc prawa strona jest równa
\(\displaystyle{ \sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}\).
Ponadto ze wzorów na różnicę sinusów i sumę sinusów dostaniemy:
\(\displaystyle{ \sin \alpha-\sin \beta=2\sin \frac{\alpha-\beta}{2} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \\ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}}\)
Po wymnożeniu tych dwóch ostatnich równości stronami i dwukrotnym zastosowaniu wzoru na sinus podwojonego kąta mamy:
\(\displaystyle{ (\sin\alpha-\sin\beta)(\sin\alpha+\sin\beta)=\sin(\alpha-\beta)\sin(\alpha+\beta)}\).

Dziekuję