Strona 1 z 1
Układ RLC - transmitancja - model stanowy.
: 4 sty 2018, o 14:51
autor: szuchasek
Rysunek do zadania:
Treść polecenia:
Napisz równanie różniczkowe łączące napięcie wyjściowe \(\displaystyle{ u_{2}(t)}\) oraz wejściowe \(\displaystyle{ u_{1}(t)}\) układu przedstawionego na rysunku.
a) Dopasuj odpowiedni model stanowy do układu, a następnie wyznacz transmitancję operatorową
układu na podstawie macierzy modelu stanowego \(\displaystyle{ x(t)=[i_{L}(t) u_{C}(t)]}\) .
b) Obliczyć odpowiedz skokową układu w stanie ustalonym.
Napisałem równania tak:
\(\displaystyle{ u_{1}(t)-u_{L}(t)-u_{C}(t)=0}\)
\(\displaystyle{ u_{R}=u_{R}(t)=u_{2}(t)}\)
\(\displaystyle{ u_{R}(t)=i_{R}(t) \cdot R}\)
\(\displaystyle{ i_{C}(t)= C \cdot \frac{du_{2}(t)}{dt}}\)
\(\displaystyle{ i_{L}(t)=i_{C}(t)+i_{R}(t)}\)
\(\displaystyle{ u_{L}(t)=L \cdot \frac{di_{L}(t)}{dt}}\)
\(\displaystyle{ u_{1}(t)=u_{R}(t)+u_{L}(t)}\)
\(\displaystyle{ \frac{u_{1}(t)-u_{2}(t)}{L}=i_{L}'(t)}\)
\(\displaystyle{ u_{2}(t)=i_{R}(t) \cdot R=[i_{L}(t)-i_{C}(t)]R}\)
\(\displaystyle{ u_{2}'(t)=Ri_{L}'(t)-RCu_{2}''(t)}\)
\(\displaystyle{ u_{2}'(t)=R(\frac{u_{1}(t)-u_{2}(t)}{L})-RCu_{2}''(t)}\)
Czy o to chodziło na początek? Równanie łączy \(\displaystyle{ u_{1}(t)}\) z \(\displaystyle{ u_{2}(t)}\) .
Proszę o podpowiedz, co dalej mam zrobić z tymi dwoma podpunktami...
Układ RLC - transmitancja - model stanowy.
: 4 sty 2018, o 16:39
autor: mdd
szuchasek pisze:Napisz równanie różniczkowe łączące napięcie wyjściowe \(\displaystyle{ u_{2}(t)}\) oraz wejściowe \(\displaystyle{ u_{1}(t)}\) układu przedstawionego na rysunku.
(...)
\(\displaystyle{ u_{2}'(t)=R(\frac{u_{1}(t)-u_{2}(t)}{L})-RCu_{2}''(t)}\)
Czy o to chodziło na początek? Równanie łączy \(\displaystyle{ u_{1}(t)}\) z \(\displaystyle{ u_{2}(t)}\)
Dobrze. Tylko postaraj się to równanie zapisać w bardziej eleganckiej postaci - przekształć równanie tak, żeby:
1) wyrażenia z wymuszeniem
\(\displaystyle{ u_{1}}\) i jego pochodnymi znajdowały się jednej stronie równania;
2) wyrażenia z odpowiedzią
\(\displaystyle{ u_{2}}\) i jej pochodnymi znajdowały się po drugiej stronie równania.
szuchasek pisze:a) Dopasuj odpowiedni model stanowy do układu, a następnie wyznacz transmitancję operatorową układu na podstawie macierzy modelu stanowego \(\displaystyle{ x(t)=[i_{L}(t) u_{C}(t)]}\) .
Zmienne stanu masz podane.
\(\displaystyle{ \mathbf{x}(t)=\begin{bmatrix} i_{L}(t) \\ u_{C}(t)\end{bmatrix}}\)
Zerknij tutaj:
Kod: Zaznacz cały
https://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_stanu_%28teoria_uk%C5%82ad%C3%B3w_dynamicznych%29
. Najpierw zapisz równania stanu.
szuchasek pisze:b) Obliczyć odpowiedz skokową układu w stanie ustalonym.
Wiesz co to jest odpowiedź skokowa?
Re: Układ RLC - transmitancja - model stanowy.
: 4 sty 2018, o 20:01
autor: szuchasek
W końcu po długich przekształceniach doszedłem do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
i_{L}'(t)\\
u_{C}'(t)
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{cc}
0 & \frac{1}{L} \\
\frac{1}{C} & \frac{-1}{RC}
\end{array}
\right]
\cdot\left[
\begin{array}{cc}
i_{L}(t)\\
u_{C}(t)
\end{array}
\right]
+\left[
\begin{array}{cc}
\frac{1}{L} \\
0
\end{array}
\right]
u_{1}(t)}\)
\(\displaystyle{ y=[0 \ 1]\left[
\begin{array}{cc}
i_{L}(t)\\
u_{C}(t)
\end{array}
\right]}\)
Mógłbyś to zweryfikować?
Odpowiedz skokową liczymy zdaję się tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ s \to 0 } sG(s)U(s)=...}\)
Układ RLC - transmitancja - model stanowy.
: 5 sty 2018, o 17:21
autor: mdd
szuchasek pisze:
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
i_{L}'(t)\\
u_{C}'(t)
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{cc}
0 & \frac{1}{L} \\
\frac{1}{C} & \frac{-1}{RC}
\end{array}
\right]
\cdot\left[
\begin{array}{cc}
i_{L}(t)\\
u_{C}(t)
\end{array}
\right]
+\left[
\begin{array}{cc}
\frac{1}{L} \\
0
\end{array}
\right]
u_{1}(t)}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{cc}
i_{L}'(t)\\
u_{C}'(t)
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{cc}
0 & -\frac{1}{L} \\
\frac{1}{C} & \frac{-1}{RC}
\end{array}
\right]
\cdot\left[
\begin{array}{cc}
i_{L}(t)\\
u_{C}(t)
\end{array}
\right]
+\left[
\begin{array}{cc}
\frac{1}{L} \\
0
\end{array}
\right]
u_{1}(t)}\)
szuchasek pisze:
\(\displaystyle{ y=[0 \ 1]\left[
\begin{array}{cc}
i_{L}(t)\\
u_{C}(t)
\end{array}
\right]}\)
Ok.
szuchasek pisze:Odpowiedz skokową liczymy zdaję się tak:
\(\displaystyle{ \lim_{ s \to 0 } sG(s)U(s)=...}\)
Nie. To jest wartość ustalona odpowiedzi skokowej, o ile
\(\displaystyle{ U(s)=\mathcal{L}\left\{ \bold{1}(t) \right\}=?}\)
Zastosowałeś twierdzenie o wartości końcowej.
Jeśli
\(\displaystyle{ \mathcal {L} \left\{ x(t)\right\}=X(s)}\)
to
\(\displaystyle{ x( +\infty )=\lim_{ s \to 0 } \left[ sX(s)\right]}\)
Po drugie... patrząc na obwód elektryczny można od razu podać wartość ustaloną napięcia na wyjściu czwórnika przy podłączeniu na wejście czwórnika idealnego źródła napięcia stałego.
Re: Układ RLC - transmitancja - model stanowy.
: 7 sty 2018, o 11:19
autor: szuchasek
Mam jeszcze pytanie odnośnie tej transmitancji, znalazłem wzór \(\displaystyle{ G(s)=C ^{T} (sI-A) ^{-1} B}\)
Czy w takim wypadku moim \(\displaystyle{ C ^{T}}\) jest macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0 \\ 1 \end{bmatrix}}\) ?
Układ RLC - transmitancja - model stanowy.
: 7 sty 2018, o 22:30
autor: mdd
szuchasek pisze:Mam jeszcze pytanie odnośnie tej transmitancji, znalazłem wzór \(\displaystyle{ G(s)=C ^{T} (sI-A) ^{-1} B}\)
Skąd taki wzór? Na stronie (do której linka podałem) widzę inny wzór. Poza tym, nie widzę w nim macierzy
\(\displaystyle{ \bold{D}}\). Czy sądzisz, że w ogólności macierz ta nie ma wpływu na macierz transmitancji?