Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie

Równania różniczkowe i całkowe. Równania różnicowe. Transformata Laplace'a i Fouriera oraz ich zastosowanie w równaniach różniczkowych.
Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 08:56

Z pewnej wysokości upuszczono cegłę o masie \(m=2kg\). Siła oporu powietrza jest proporcjonalna do jej prędkości. Zmianę pędu cegły opisuje równanie różniczkowe :

\(m \frac{dv}{dt}=mg - uv\)

Obliczyć jaką prędkość będzie miała cegła po czasie \(t = 5s ?\)
Policzyć jaka będzie prędkość, gdy \(t \rightarrow \infty\). W obliczeniach przyjąć, że \(u = 4 [ \frac{kg}{s}]\) oraz, że \(v(0)=0\)

Według mnie, trzeba rozwiązać równanie różniczkowe, ze zmiennymi rozdzielonymi, a potem to samo równanie z warunkiem brzegowym \(v(0) = 0\).

Przy mojej próbuje rozwiązania zadania napotykam problem z dojściem do postaci po lewej stronie równania \(\frac{dv}{v}\).
Ostatnio zmieniony 2 sty 2018, o 09:25 przez Pipers, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3381
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi » 2 sty 2018, o 09:14

Po lewej będziesz miał:
\(m \frac{dv}{mg - uv}=\frac{dv}{g - \frac{u}{m}v}\).

A jednostek nie piszemy w nawiasie.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 09:27

Czyli tok jest następujący :

\(m \frac{dv}{dt} = mg - uv\)

\(m \frac{dv}{mg - uv } = dt\)

\(\frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = \frac{dt}{m}\)

I teraz mogę całkować .., a po prawej stronie wyciągam \(m\) przed całkę, bo traktuje to jako stałą, a dokladniej to wyciągam \(\frac{1}{m}\). Wynik całkowania prawej strony równania to po prostu nasz czas \(t\). I za niego postawiam wartość 5 sekund. Prosiłbym o pomoc z całką :

\(\int_{}^{} \frac{dv}{g - \frac{u}{m} v }\)

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3381
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi » 2 sty 2018, o 10:16

Jak już wyciągniesz \(m\) z mianownika z lewej to się ono skróci i nie będzie już po prawej i zostanie samo \(dt\). Co do całki: zrób podstawienie \(w=g-\frac{u}{m}v\).

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 11:21

Powinienem zrobić te zadanie dzisiaj, a grypa żołądkowa mi w tym nie pomaga. Część dalsza rozważań :

równanie powinno wyglądać tak :

\(\frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = dt\)

\(\int_{}^{} \frac{dv}{g - \frac{u}{m} v } = \int_{}^{} dt\)

\(t =g - \frac{u}{m} v\)

jako, że stosunek \(\frac{u}{m} = 2\) to też,

\(t =g - 2 v\)
\(dt = - 2dv\)
\(- \frac{1}{2}dt =dv\)

następnie rozwiązuje całkę:

\(- \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{t} dt\)

wszystko się zgadza ?

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3381
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi » 2 sty 2018, o 12:04

Tak, tylko oznaczanie nowej zmiennej całkowania przez \(t\) uznałbym za dość ryzykowne

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 12:18

Rzeczywiście hahahaha, przywyczajenie do oznaczeń za czasów studiów... mamy już jedno \(t\)
Idąc tropem :


\(- \frac{1}{2} \int_{}^{} \frac{1}{w} dw\)

\(- \frac{1}{2} \cdot \ln \left| w\right| + C\)
stąd możemy ułożyć równanie :
\(- \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| + C = t\)

Tutaj będą duże opory, mimo, że jestem pewny, że rozwiązanie jest infantylnie proste. Pewnie widzisz, że wkładam jakiś wysiłek, dlatego proszę też o dokończenie w celu wydedukowania metodologi rozwiązania takiego zadania... niczego podobnego też tu nie znalazłem ( bardzo podobnego ) dlatego innym się przyda, tak sądzę.

-- 2 sty 2018, o 14:00 --

AiDi, Chciałem dodać też.., że im większa siła jest przyłożona, tym większy opór napotykasz.. szczególnie w matematyce
Ostatnio zmieniony 2 sty 2018, o 22:23 przez Pipers, łącznie zmieniany 2 razy.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3381
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi » 2 sty 2018, o 14:39

Piszę z telefonu, więc na chwilę obecną mogę dać tylko opis słowny: przenieś stałą na drugą stronę, pozbądź się ułamka przy logarytmie, skorzystaj z definicji logarytmu, wywikłaj \(v\) (wyrażenie pod modułem jest dodatnie). Następnie z warunków brzegowych znajdź stałą całkowania.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 22:04

Mógłbyś to rozpisać ?

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3381
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi » 2 sty 2018, o 22:08

\(- \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| + C = t,\\ - \frac{1}{2} \cdot \ln \left| g - 2v\right| = t+C_1,\\ \ln \left| g - 2v\right|=-2(t+C_1),\\ \left| g - 2v\right|=e^{-2(t+C_1)},\\ g-2v=e^{-2(t+C_1)},\\ v(t)=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(t+C_1)}.\)

Dalej warunki brzegowe.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzucie

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 22:28

Pipers pisze: Policzyć jaka będzie prędkość, gdy \(t \rightarrow \infty\). W obliczeniach przyjąć, że \(u = 4 [ \frac{kg}{s}]\) oraz, że \(v(0)=0\)

Jak odnieść się do nieskończoności ? Tak samo jak liczyło się granice podstawić pod \(t\) w równaniu \(\infty\) ?

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3381
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi » 2 sty 2018, o 22:39

Nie (tzn. nie do końca wiem co masz na myśli), trzeba wziąć granicę rozwiązania przy \(t\rightarrow \infty\). To funkcja wykładnicza, ma asymptotę, itd. Prędkość w "nieskończoności" jest tym co zwykle nazywa się 'prędkością graniczną'. W rzeczywistości osiągana jest oczywiście dużo szybciej. Co wynika z tego, że rzeczywista siła oporu zależy też od wartości prędkości w wyższych potęgach, przy których 'asymptotyczność' zanika.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 22:45

Szczerze napiszę, że nie wiem jak to zrobić.. mógłbyś to rozpisać ? Może obliczyć w powyższych równaniach całkę oznaczoną od \(0\) do \(\infty\) ? AiDi, Swoją drogą gdzie można znaleźć takie zadania z treścią z równań różniczkowych ?

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3381
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: AiDi » 2 sty 2018, o 22:50

Przedstaw proszę wzór na \(v(t)\) bo nie miałem kiedy wyznaczyć stałej całkowania. A gdzie znaleźć? Dobre pytanie, możliwe że coś u Krysickiego się znajdzie. Ja to głównie miałem na wykładzie z Mechaniki I, ale był to taki czas że ze zbiorów zadań nie korzystałem w ogóle, więc nic na teraz nie przytoczę. Może inni mają coś pod ręką.

Awatar użytkownika
Pipers
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 7 kwie 2013, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Re: Obliczenie prędkości cegły po określonym czasie przy rzu

Post autor: Pipers » 2 sty 2018, o 22:56

AiDi pisze:\(v(t)=\frac{g}{2}-\frac{1}{2}e^{-2(t+C_1)}.\)
Myślałem, że to jest równanie jakie powinno być ? Co mogło się dodać do stałej całkowania ? Naprawdę nie rozumiem.

ODPOWIEDZ