Wzór na sumę

[nalepek]

Witam!

Mam do rozwikłania następujące zadanko:

Wzór na sumę:

Oblicz:

a) \(\displaystyle{ 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + ... + n \cdot n!}\)

b) \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{ 6^{2} } + \frac{1}{ 6^{3} } + ...}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ...}\)

I teraz tak:
Czy w punktach b i c muszę dopisać wartości z niewiadomą \(\displaystyle{ n}\) (bo w poleceniu zadania tego nie mam)?

Czyli dla podpunktów b i c byłoby:

b) \(\displaystyle{ 1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{ 6^{2} } + \frac{1}{ 6^{3} } + ... + \frac{1}{ 6^{n-1} }}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + ... + \frac{1}{n \cdot \left( n+1\right) }}\)

I teraz nie wiem co dalej. Czy mogę liczyć na jakieś podpowiedzi?

[kmarciniak1]

Drugie to suma szeregu geometrycznego gdzie \(\displaystyle{ q}\) to iloraz ciągu.

Jeżeli \(\displaystyle{ \left| q\right| <1}\) to suma wynosi \(\displaystyle{ S= \frac{a _{1} }{1-q}}\)

Pozostałę dwa przykłady są trickowe. Wystarczy, że wpiszesz w google i wyskoczą Ci rozwiązania.

[Janusz Tracz]

Wskazówka do:
a) \(\displaystyle{ \left( n+1\right)!-n!=n \cdot n!}\) wysumuj stronami po \(\displaystyle{ 1,2,3,...,n}\)
b) już jest
c) rozłóż na ułamki proste ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)}}\) i podobnie jak w a) wysumuj stronami.

[a4karo]

Generalnie w tego typu zadaniach przed napisaniem posta wystarczy policzyć parę pierwszych wyrazów i zwykle sprawa staje się jasna (a raczej jasna staje się teza, którą potem prosto udowodnić).

[nalepek]

Bardzo dziękuję za wskazówki!

Wskazówka do:
a) \(\displaystyle{ \left( n+1\right)!-n!=n \cdot n!}\) wysumuj stronami po \(\displaystyle{ 1,2,3,...,n}\)
b) już jest
c) rozłóż na ułamki proste ułamek \(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)}}\) i podobnie jak w a) wysumuj stronami.

Rozpisałem sobie coś takiego, ale nie jestem pewien czy dobrze myślę:

Podpunkt a)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + ... + n \cdot n!}\)

\(\displaystyle{ S\left( 1\right) = 1 \cdot 1! = 1}\)

\(\displaystyle{ S\left( 2\right) = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! = 1 + 4 = 5}\)
\(\displaystyle{ S\left( 2\right) = 3! - 1}\)

\(\displaystyle{ S\left( 3\right) = 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! = 1 + 4 + 18 = 23}\)
\(\displaystyle{ S\left( 3\right) = 4! - 1}\)

Więc:

\(\displaystyle{ S\left( n\right) = \left( n+1\right)! - 1}\)

Podpunkt c)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + ...}\)

\(\displaystyle{ S\left( 1\right) = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ S\left( 2\right) = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ S\left( 3\right) = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3}{4}}\)

Więc:

\(\displaystyle{ S\left( n\right) = \frac{n}{n+1}}\)


Czy to wszystko, czy coś jeszcze muszę obliczać? Czy mój tok myślenia jest poprawny?

[Premislav]

No, obliczenia są OK, ale jeszcze musisz udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) te wzory są prawdziwe, np. za pomocą indukcji matematycznej albo tak jak zasugerowano powyżej.