Matematyka.pl

Dzień dobry,

mam pytanie dotyczące kwestii formalnej w dowodach indukcyjnych. Otóż chodzi mi o ostatni krok, czyli sprawdzenie, czy wzór jest poprawny dla n=k+1.

Pytanie jest takie: czy w tym kroku mogę dowodzić równości (względnie nierówności) obu stron poprzez wykorzystanie obydwu stron równania (nierówności), tzn. przez wykonywanie działań obustronnych? Pytam, gdyż w praktycznie każdym podręczniku widzę, że w rozwiązaniach przekształca się tylko jedną stronę (najczęściej lewą) żeby dojść do postaci po prawej stronie. W tych przykładach prawa strona zawsze była ,,nietknięta". Czy jest to formalny wymóg indukcji, aby dowodzić równości (nierówności) przekształcając tylko jedną stronę?

Wydaje mi się, że nie jest to błędem, jeśli operuję na obydwu stronach i pokazuję na koniec, że są tożsamościowo równe. Ponadto wydaje mi się, że wielu przypadkach działanie na obu stronach łatwiej prowadzi do wykazania równości niż działanie tylko na jednej. Chociaż, oczywiście działanie na jednej tylko stronie wygląda bardziej ,,elegancko" niż na obydwu.

Wolno Ci przekształcać równoważnie obydwie strony równości (nierówności) ważne by robić to poprawnie. Tak jak zdążyłeś zauważyć przekształcanie jednaj strony jest bardziej eleganckie i dlatego częściej jest w podręcznikach. Ale to że coś jest bardziej eleganckie nie znaczy że jest prostsze często taki dowód wymaga większej pomysłowości lub gimnastyki rachunkowej.

calculus pisze:Pytanie jest takie: czy w tym kroku mogę dowodzić równości (względnie nierówności) obu stron poprzez wykorzystanie obydwu stron równania (nierówności), tzn. przez wykonywanie działań obustronnych?

Wydaje mi się, że nie jest to błędem, jeśli operuję na obydwu stronach i pokazuję na koniec, że są tożsamościowo równe.

Nie jestem pewien, czy jesteś świadomy tego, co chcesz robić. "Wykorzystanie obydwu stron równania" to nic innego niż dowód przez założenie tezy, który - z natury rzeczy - jest niepoprawny. Jest tylko jedna sytuacja, gdy takie rozumowanie jest dopuszczalne - gdy przekształcasz tezę równoważnie (jak Ci napisał Janusz Tracz). Ale wtedy - by uniknąć podejrzeń o wnioskowanie z tezy - powinieneś spełnić dwa warunki:
- istotnie wykonywać przekształcenia równoważne;
- podkreślić to w dowodzie, by był jasne, że to równoważne przekształcenia są Twoim celem.
Tylko wtedy dojście do tożsamości będzie poprawnym rozumowaniem.

JK

Dziękuję bardzo za Panów odpowiedzi.

Jak najbardziej jestem świadomy tego, że tezę przekształcam równoważnie - i tak właśnie wygląda to w każdym dowodzie przeprowadzanym z użyciem obu stron. Działania obustronnie wykonywane nie prowadzą np. do zmiany dziedziny wyrażeń (czyli np. nie dzielę obu stron przez liczbę, która w pewnych warunkach może wynosić 0 itd). Najczęściej wykonywane jest obustronne dodawanie lub odejmowanie.

Zresztą o konieczności wyraźnego zaznaczenia, że przekształcam równoważnie tezę wiem już z mojego pytania (sprzed około roku) dotyczącego dowodów na polskiej maturze - wtedy właśnie też Pan Jan wyjaśniał, że należy to wyraźnie zaznaczyć, aby egzaminator zrozumiał. I pamiętam o tym cały czas. Zawsze też powtarzam swoim uczniom, aby komentowali swoje dowody słownie.

P.S. aby uprzedzić kolejne pytania lub wątpliwości innych czytających - oczywiście zadania z indukcji nie dotyczą tu polskiej matury, na której tego zagadnienia nie ma już od wielu lat. Problem, o którym piszę dotyczy matury IB na poziomie HL. Jeden z moich uczniów postąpił w ten właśnie sposób na sprawdzianie (bo dzięki działaniom obustronnym było łatwiej i szybciej dowodzić tezę), natomiast nauczycielka początkowo nie chciała jemu tego zadania uznać. Mimo, że wykazał równość obu stron oraz komentował w pracy co robi (dowodzenie przez równoważne przekształcenie tezy) i na koniec wyjaśnił jej to ustnie podczas wglądu do pracy, to jednak ona nie chciała przyznać za to punktów (bo w kluczu do zadania było przekształcanie jednostronne, a ona innych rozwiązań niż w kluczu nie uznaje).

No cóż, matura międzynarodowa też nie jest idealna...

Nie wiem, jakie są procedury na IB, ale od matematycznej strony ta ocena jest do zakwestionowania.

JK