Matematyka.pl

Wtajemniczeni wiedzą, że istnieją ułamki okresowe i da się je zapiać w postaci ułamków zwykłych.
Zastanawia mnie jednak pewna równość:

\(\displaystyle{ 0,(9) = 1}\)

Nie będę na razie rozważać, jak to dowieść. Jak ktoś umie zamieniać ułamki okresowe na zwykłe, to wie.
Jednak czy aby to na pewno jest równość? Czy te liczby są sobie równe równe, czy jednak różnią się od siebie o infinitezymalnie małą wartość, czyli większą od zera, ale mniejszą od każdej innej wartości?

Nie ma liczby większej od zera, ale mniejszej od każdej innej wartości. Odpowiedź akurat tutaj jest jednoznaczna:
\(\displaystyle{ 0, (9)=1}\) i jest to stuprocentowa równość.

Oczywiście, że się różnią. Ich różnica to, \(\displaystyle{ 0,(0)1}\) (ta jedynka stoi na nieskończonym miejscu).

Panu a4karo jak zwykle humor dopisuje. Oczywiście \(\displaystyle{ 0,(0)1}\) w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma sensu (albo to po prostu \(\displaystyle{ 0}\) , nie wiem jak tam kultura nakazuje to traktować; ja na ogół jestem matematycznie bezczelny niestety).

Ponieważ przekształcenia równoważne nie łamiące żadnych zasad (typu dzielenie przez 0) prowadzą do otrzymania równości \(\displaystyle{ 1=0,(9)}\) , to musi być to związek prawdziwy.

Można też inaczej. Pokazałem w sumie dwie różne (poza trzecią standardową) metody na pokazanie, że \(\displaystyle{ x=1}\) , wszystkie korzystały z równoważnych przekształceń.

Zwykle dowód faktu, że
\(\displaystyle{ 0,(9)=1}\)
przeprowadza się jakoś tak (przynajmniej tak to zrobiła nauczycielka, gdy spytałem w pierwszej klasie liceum, jak to udowodnić):
Niech \(\displaystyle{ x=0,(9)}\) . Wówczas \(\displaystyle{ 10x=9,(9)}\) , czyli \(\displaystyle{ 10x=9+x}\) , stąd \(\displaystyle{ x=1}\) . Istnieje tu jednak pewna luka, która powoduje, że nie jest to do końca poprawne. Równie dobrze można by pokazać, że:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2^n=-2}\)
Oto jak: niech \(\displaystyle{ x=\sum_{n=1}^{ \infty } 2^n}\), wówczas \(\displaystyle{ 2x= \sum_{n=1}^{ \infty }2^{n+1}= \sum_{n=2}^{ \infty }2^n=-2+ \sum_{n=1}^{ \infty } 2^n}\) ,
czyli \(\displaystyle{ 2x=(-2)+x}\) , stąd \(\displaystyle{ x=-2}\) .


Problem w tym, że niektórzy nie wiedzą, czym jest to całe \(\displaystyle{ 0,(9)}\) . Należy to rozumieć jako sumę szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ 0,9}\) i ilorazie równym \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\) . Jak wiemy, gdy \(\displaystyle{ |q|<1}\), to istnieje suma: \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_1 |q|^{n-1}= \frac{a_1}{1-q}}\) .
Podobnie \(\displaystyle{ 0,(3)=\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\ldots= \sum_{n=1}^{ \infty }3\cdot \left( \frac 1 {10}\right)^n= \frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}} =\frac{3}{9}=\frac 1 3}\) , ponieważ \(\displaystyle{ \left|\frac{1}{10}\right|=\frac{1}{10}<1}\) .

Z tym że \(\displaystyle{ \frac{1}{3}=0,33333...}\) jakoś nikt nie ma wątpliwości a z tym:

\(\displaystyle{ \frac{1}{3}=0,33333... \Big| \cdot 3}\)

\(\displaystyle{ 1=0,99999...}\)

już jest problem.

lichotka pisze:czy jednak różnią się od siebie o infinitezymalnie małą wartość, czyli większą od zera, ale mniejszą od każdej innej wartości?

Szczerze mówiąc to zabroniłbym używania słowa "infinitezymalny" do co najmniej 3 roku studiów. Jest nadużywane, i to bez zrozumienia.

A temat prawdziwej i dokładnej równości \(\displaystyle{ 1=0,(9)}\) był już na forum rozwałkowany, aż na 13 stron: 20240.htm

Premislav pisze:Wówczas \(\displaystyle{ 10x=9,(9)}\), czyli \(\displaystyle{ 10x=9+x}\), stąd \(\displaystyle{ x=1}\). Istnieje tu jednak pewna luka, która powoduje, że nie jest to do końca poprawne. Równie dobrze można by pokazać, że
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2^n=-2}\)

Ależ skąd! To żadna luka. Nie możemy do \(\displaystyle{ x}\) przypisać sumy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2^n}\) i traktować jak liczby, bo po lewej mielibyśmy coś co miałoby z założenia mieć sens liczbowy, a po prawej mamy coś, co nie jest liczbą. Stąd błędne rozumowanie.
\(\displaystyle{ 0,(9)}\) to oczywiście liczba (więc możemy ją oznaczyć np. jako \(\displaystyle{ x}\) i traktować dalej jak liczbę), jedynie wątpliwym było, czy aby na pewno zachodzi \(\displaystyle{ 0,(9) = 1}\) .

\(\displaystyle{ 0,(9)}\) to oczywiście liczba.

Dlaczego oczywiście? Tzn. na pewnym poziomie (choćby pierwszego semestru studiów czy tam drugiej połowy szkoły średniej, gdy – przynajmniej na rozszerzeniu – pojawia się coś takiego, jak szereg geometryczny) można napisać „oczywiście", ale ja mam przekonanie, że trochę mnie omamiono na początku liceum, gdyż nie określono czym jest to \(\displaystyle{ 0,(9)}\) poza tym, że to „nieskończenie wiele dziewiątek po zerze".

Nie możemy do \(\displaystyle{ x}\) przypisać sumy \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 2^n}\) i traktować jak liczby, bo po lewej mielibyśmy coś co miałoby z założenia mieć sens liczbowy, a po prawej mamy coś, co nie jest liczbą. Stąd błędne rozumowanie.

Jasne, ja przecież w tym duchu pisałem powyższą wypowiedź – najpierw musimy wiedzieć, że to jest pewna liczba, by tak robić.

Huh. Na podstawie, o ile się nie mylę, też jest szereg geometryczny (jest ciąg geometryczny i suma ciągu geometrycznego... Chociaż w sumie nie ma granicy chyba, to wtedy szeregu geometrycznego też nie). Dowód, że \(\displaystyle{ 0,(9)}\) jest liczbą i jest równy \(\displaystyle{ 1}\) również jest podręcznikowym dowodem w dziale szereg geometryczny. Może ja przyjmuję to za pewnik, bo ciągi ogarniałem już w gimnazjum na dobrą sprawę, szeregi w pierwszej liceum, a poza tym zawsze widziałem \(\displaystyle{ 0,(9) = 3 \cdot 0,(3)}\) przed oczyma, gdy myślałem o ludziach, którzy "nie widzą", że \(\displaystyle{ 0,(9) = 1}\) .

Muszę jednak przyznać, że po poznaniu czegoś takiego jak infinitezymalna miałem duży problem z \(\displaystyle{ 0,(9)}\) i \(\displaystyle{ 1}\) , ale to już minęło. Miałem dobrego matematyka, który nieco mnie oświecił. xd

Fajnie się bawicie...

A jaką ma wartość "take cóś".
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{1-0,(9)}}\)

Brombal pisze:A jaką ma wartość "take cóś".
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{1-0,(9)}}\)

Oczywiście \(\displaystyle{ \frac{1}{10}}\)

Czyli można wyliczyć z równości \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 0,(9)}\) tak..
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{0} = \frac{1}{10}}\)

-- 4 sty 2018, o 17:22 --

Ja obstawiam tak i co?
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{1-0,(9)} =1}\)

-- 4 sty 2018, o 17:23 --

A może
\(\displaystyle{ \sqrt[ \infty ]{1-0,(9)} = \infty}\)

Te pytania to serio?