Matematyka.pl

Pokaż że następujące równania mają rzeczywiste rozwiązania
Mam zastosować twierdzenie Darboux.
Czyli rozumiem że trzeba policzyć granicę do \(\displaystyle{ \infty}\) i \(\displaystyle{ -\infty}\) i sprawdzić czy granice mają przeciwne znaki.
Dodatkowym utrudnieniem jest to że nie mogę użyć reguły de l'Hospitala natomiast podano mi wzory na następujące granice przy odpowiednich założeniach.

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{\ln (x)}{x^{n}}=0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{x^{n}}{e^{x}}=0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0} \frac{\sin (x)}{x}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0} \frac{1-\cos (x)}{x}=0}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0} \frac{1-\cos (x)}{x^{2}}= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln (a)}\)

Przykłady których nie mogę rozwiązać:

\(\displaystyle{ \ln (x+1)=x-1}\)

Zapisuje jako:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \ln (x+1)-x+1}\)

i nie wiem jak obliczyć tą granicę.

Następne podobnie:

\(\displaystyle{ \sin (x) +1 = x}\)

\(\displaystyle{ e^{x}= \frac{1}{x}}\)

\(\displaystyle{ \arctan (x)=x-5}\)

Nie do końca jest prawdą, że należy liczyć granice.

Rozważmy przykład \(\displaystyle{ \ln (x+1) = x - 1}\) .
To równanie po równoważnym przekształceniu wygląda tak:
\(\displaystyle{ \ln(x+1) - x + 1 = 0}\)
Niech \(\displaystyle{ f(x) = \ln(x+1) - x + 1}\) . Wówczas \(\displaystyle{ f(0) = 1}\) . Ponadto \(\displaystyle{ f(3) = \ln (4) - 3 = \ln (4) - \ln (e^3) = \ln \left( \frac{4}{e^3} \right) < 0}\) . Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła na \(\displaystyle{ [0,3]}\) oraz \(\displaystyle{ f(0) > 0}\) i \(\displaystyle{ f(3) < 0}\) . Z twierdzenia Darboux istnieje zatem punkt \(\displaystyle{ x_0 \in (0,3)}\) taki, że \(\displaystyle{ f(x_0) = 0}\) lub równoważnie
\(\displaystyle{ \ln(x_0 + 1) = x_0 - 1 .}\)
Czyli istnieje rozwiązanie rzeczywiste równania \(\displaystyle{ \ln(x + 1) = x - 1}\) .

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0} \frac{\sin (x)}{x}=0}\)

Swoją drogą to jest nieprawda.

Janusz Tracz pisze:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0} \frac{\sin (x)}{x}=0}\)

Swoją drogą to jest nieprawda.

Przepraszam, błąd.